Equação de Pell – Wikipédia, a enciclopédia livre

Na matemática, mais especificamente na Teoria dos Números, a equação de Pell (também chamada de equação de Pell-Fermat) é a equação:

${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=1}$

Onde ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ são números inteiros e ${\displaystyle d}$ um número natural.

Esta equação foi nomeada em homenagem ao matemático inglês John Pell, foi estudada por Brahmagupta no século VII e por Fermat no século XVII.^[1]

Introdução[editar | editar código-fonte]

As equações de Pell-Fermat são estudadas há milênios na Índia e na Grécia. Eles tinham uma grande interesse particularmente no caso de ${\displaystyle d}$ = 2 uma vez que sua solução forneciam uma boas aproximações racionais de ${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx x/y.}$ Baudhayana encontrou os pares (17,12) e (577, 408) forneciam muito boas a aproximações ${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 577/408.}$ Já Arquimedes usou a equação no caso de n = 3 e obteve a aproximação ${\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1351/780}$. com Brahmagupta , que desenvolveu o método chakravala para resolver a equação de Pell e outras equações indeterminadas quadráticas em sua Brahma Sphuta Siddhanta em 628, cerca de mil anos antes da época de Pell. O nome de Pell, nestas equações, ocorre devido a um erro de Euler atribuindo ao matemático inglês John Pell (1610-1685) o estudo da mesma. Aparentemente foi Lord Brouncker (1620-1684) o primeiro matemático europeu moderno a estudar as equações de Pell-Fermat.^[2]

Soluções[editar | editar código-fonte]

Note que

 ${\textstyle x^{2}-dy^{2}=1\Longleftrightarrow (x-{\sqrt {d}}y)(x+{\sqrt {d}}y)=1}$ 

Se ${\displaystyle {\sqrt {d}}\in \mathbb {N} }$, isto é, se ${\displaystyle d}$ é um quadrado perfeito, então

 ${\displaystyle (x-{\sqrt {d}}y)(x+{\sqrt {d}}y)=1\Longrightarrow {\begin{cases}x-{\sqrt {d}}y=1\\x+{\sqrt {d}}y=1\end{cases}}\quad {\text{ou}}\quad {\begin{cases}x-{\sqrt {d}}y=-1\\x+{\sqrt {d}}y=-1\end{cases}}}$ 

Como ${\displaystyle {\sqrt {d}}\in \mathbb {N} }$, então existe ${\displaystyle n}$ natural tal que ${\displaystyle n={\sqrt {d}}}$. Assim, no primeiro caso acima, temos que

 ${\displaystyle {\begin{cases}x-ny=1\\x+ny=1\end{cases}}\Longrightarrow (x-ny)+(x+ny)=1+1}$ 

Assim,

 ${\displaystyle (x+x)+(ny-ny)=2\Longrightarrow x=1.}$ 

Substituindo ${\displaystyle x=1}$ em uma das equações do sistema, teremos que ${\displaystyle y=0}$.

Resolvendo o caso

 ${\displaystyle {\begin{cases}x-ny=-1\\x+ny=-1\end{cases}}}$ 

Teremos ${\displaystyle x=-1}$ e ${\displaystyle y=0}$. Assim, os pares ${\displaystyle (x,y)=(1,0)}$ e ${\displaystyle (x,y)=(-1,0)}$ são ditos soluções triviais.

Joseph Louis Lagrange provou que, contanto que ${\displaystyle d}$ não seja um quadrado perfeito, a equação de Pell tem infinitas soluções inteiras distintas.

Os inversíveis em ${\displaystyle Z[{\sqrt {d}}]}$[editar | editar código-fonte]

Como ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=(x+{\sqrt {d}}y)(x-{\sqrt {d}}y)}$, então iremos usar os números da forma ${\displaystyle a+{\sqrt {d}}b}$, números em ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]}$, para resolver a equação.

Definição[editar | editar código-fonte]

Definiremos a norma ${\displaystyle N:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ da seguinte forma

 ${\displaystyle N(u)=u{\bar {u}}.}$ 

Onde ${\displaystyle u=x+{\sqrt {d}}y}$ e ${\displaystyle {\bar {u}}=x-{\sqrt {d}}y}$.

Proposição[editar | editar código-fonte]

Seja ${\displaystyle u=x+{\sqrt {d}}y}$ uma solução da equação de Pell, qualquer potência ${\displaystyle u^{n};2\leq n\in \mathbb {N} }$ é, também, uma solução da equação de Pell.

Demonstração

Usaremos o processo de indução. Assim, note que para ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}N(u^{2})&=N{\Big (}(x+{\sqrt {d}}y)(x+{\sqrt {d}}y){\Big )}\\&=N{\Big (}x^{2}+dy^{2}+2{\sqrt {d}}xy{\Big )}\\&=\left(x^{2}+dy^{2}+2{\sqrt {d}}xy\right)\left(x^{2}+y^{2}-2{\sqrt {d}}xy\right)\\&=\left(x^{2}+dy^{2}\right)^{2}-\left(2{\sqrt {d}}xy\right)^{2}\\&=x^{4}+2dx^{2}y^{2}+d^{2}y^{4}-4dx^{2}y^{2}\\&=x^{4}-2dx^{2}y^{2}+d^{2}y^{4}\\&=(x^{2}-dy^{2})(x^{2}-dy^{2})\\&=N(u)N(u)\\&=1\end{aligned}}}$

Suponha que para todo ${\displaystyle n\leq k,N(u^{n})=N(u^{n-1}\cdot u)=1}$, então para ${\displaystyle n=k+1}$, temos que

${\displaystyle {\begin{aligned}N(u^{k+1})&=N(u^{k}\cdot u)\\&=N(u^{k})N(u)\\&=1\end{aligned}}}$

Assim, fica demonstrado que qualquer potência de uma solução é, ainda, uma solução da equação de Pell.

Proposição[editar | editar código-fonte]

Seja ${\displaystyle u=x+{\sqrt {d}}y}$ a solução fundamental da equação de Pell e ${\displaystyle u^{k}=x_{k}+{\sqrt {d}}y_{k}}$ a k-ésima potência de ${\displaystyle u}$, então

 ${\displaystyle {\begin{aligned}x_{k}&=x_{k-1}x+dy_{k-1}y\\y_{k}&=x_{k-1}y+y_{k-1}x\end{aligned}}}$ 

Demonstração

Note que ${\displaystyle u^{k}=u^{k-1}u}$, logo

${\displaystyle {\begin{aligned}u^{k}&=(x_{k-1}+{\sqrt {d}}y_{k-1})(x+{\sqrt {d}}y)\\&=x_{k-1}x+x_{k-1}{\sqrt {d}}y+{\sqrt {d}}y_{k-1}x+dy_{k-1}y\\\Rightarrow x_{k}+{\sqrt {d}}y_{k}&=(x_{k-1}x+dy_{k-1}y)+{\sqrt {d}}(x_{k-1}y+y_{k-1}x)\end{aligned}}}$

Comparando os termos, temos que ${\displaystyle x_{k}=x_{k-1}x+dy_{k-1}y{\text{ e }}y_{k}=x_{k-1}y+y_{k-1}x}$.

Observação: note que ${\displaystyle u=x_{1}+y_{1}{\sqrt {d}}}$ é a solução fundamental

O grupo dos inversíveis em ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]}$[editar | editar código-fonte]

Seja a restrição,

Onde ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]^{*}=\{u\in \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}];N(u)=1\}}$ e ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}=\{-1,1\}}$ (inversíveis em ${\displaystyle \mathbb {Z} }$).

Note que a norma definida dessa forma é um homomorfismo.

Agora iremos verificar que ${\displaystyle G=(\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]^{*},\cdot )}$ é um grupo:

1. Associatividade: como ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]\subset \mathbb {R} }$ e a operação é a multiplicação usual, garantimos a associatividade;
2. Elemento neutro: Note que ${\displaystyle 1\cdot u=u\ \forall \ u\in \mathbb {R} }$, logo, ${\displaystyle u\in \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]^{*}\Rightarrow 1\cdot u=u}$;
3. Inverso : Por construção, todo ${\displaystyle u\in \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]^{*}}$possui inverso.

Seja ${\displaystyle u\in \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]^{*}}$ a solução fundamental da equação de Pell, então ${\displaystyle u^{k}}$ ainda será uma solução da equação, logo, ${\displaystyle u}$ gera ${\displaystyle G}$, portanto, ${\displaystyle G}$ é um grupo cíclico, logo, abeliano. Assim,

 ${\displaystyle G=\{u^{0},u^{1},\dots \}=\{1,u,u^{2},...\}}$ 

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Da equação de Pell, temos que ${\displaystyle x^{2}=1+dy^{2}}$, logo

 ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{y^{2}}}={\frac {1}{y^{2}}}+d\Longrightarrow {\frac {x}{y}}={\sqrt {{\frac {1}{y^{2}}}+d}}.}$ 

Intuitivamente, podemos perceber que a razão ${\displaystyle x/y}$ nos dará boas aproximações para ${\displaystyle {\sqrt {d}}}$ quando ${\displaystyle 1/y^{2}}$ for pequeno. Matematicamente, podemos formular essa ideia como

 ${\displaystyle \lim _{y\rightarrow +\infty }{\sqrt {{\frac {1}{y^{2}}}+d}}={\sqrt {d}}.}$ 

Com isso, podemos usar frações continuadas para escrever o número irracional ${\displaystyle {\sqrt {d}}}$ na forma ${\displaystyle {\sqrt {d}}=[a_{0},{\overline {a_{1},\dots ,2a_{0}}}]}$

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Seja a equação de Pell

 ${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1}$. 

A solução fundamental dessa equação é o par ${\displaystyle (3,2)}$, pois, ${\displaystyle 3^{2}-2(2)^{2}=9-8=1}$. Assim, ${\displaystyle u=3+2{\sqrt {2}}}$, então ${\displaystyle u^{k}=3x_{k-1}+4y_{k-1}+{\sqrt {2}}(x_{k-1}2+y_{k-1}3)}$, daí

 ${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}&=3x_{1}+4y_{1}+(2x_{1}+3y_{1}){\sqrt {2}}=17+12{\sqrt {2}}\\u^{3}&=3x_{2}+4y_{2}+(2x_{2}+3y_{2}){\sqrt {2}}=99+70{\sqrt {2}}\\u^{4}&=3x_{3}+4y_{3}+(2x_{3}+3y_{3}){\sqrt {2}}=577+408{\sqrt {2}}\\\end{aligned}}}$  ${\displaystyle \vdots }$ 

Fazendo a razão entre os coeficientes das soluções, temos que

 ${\displaystyle {\frac {3}{2}}=1,5;\quad {\frac {17}{12}}=1,41{\overline {6}};\quad {\frac {99}{70}}=1,41{\overline {428571}};\quad {\frac {577}{408}}=1.4142{\overline {1568627450980392}}}$ 

Essas razões estão se aproximando de ${\displaystyle {\sqrt {2}}=1,414213562373\dots }$

^{[3] [4]}

Referências

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