Laplace Equação de Laplace , em matemática , é uma equação diferencial parcial cujo nome honra seu criador, Pierre Simon Laplace . Trata-se de uma equação diferencial elíptica de alta relevância, pois é descritora de comportamentos em vários campos da ciência, como, por exemplo, a astronomia , o eletromagnetismo , a mecânica dos fluidos , formulando-lhes as funções potencial gravitacional, elétrica, fluídica, entre outras aplicações. Com efeito, a teoria geral de soluções para a equação de Laplace é conhecida como teoria do potencial .
Em um conjunto aberto U ⊂ R n {\textstyle U\subset \mathbb {R} ^{n}} , a equação de Laplace é definida por:[ 1]
Δ f = 0 {\displaystyle \Delta f=0}
onde, Δ {\textstyle \Delta } denota o operador de Laplace (ou, laplaciano ):
Δ f := ∑ i = 1 n ∂ 2 f ∂ x i 2 {\displaystyle \Delta f:=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}}
Aqui, a incógnita f {\textstyle f} é uma função de U ⊂ R n {\textstyle U\subset \mathbb {R} ^{n}} em R . {\textstyle \mathbb {R} .} Uma tal função f {\textstyle f} é dita ser harmônica , se é solução da equação de Laplace e é duas vezes continuamente diferenciável , i.e. Δ f = 0 {\textstyle \Delta f=0} e f ∈ C 2 ( U , R ) {\textstyle f\in C^{2}(U,~\mathbb {R} )} . Em muitos textos, o operador laplaciano é denotado por ∇ 2 {\textstyle \nabla ^{2}} . Esta notação é motivada pelo fato de que Δ = ∇ ⋅ ∇ {\textstyle \Delta =\nabla \cdot \nabla } , onde ∇ {\textstyle \nabla } denota o gradiente .
Definição em R 2 {\textstyle \mathbb {R} ^{2}} [ editar | editar código-fonte ] Em duas dimensões, i.e. no espaço euclidiano R 2 {\textstyle \mathbb {R} ^{2}} , a equação de Laplace toma a forma[ 2] (em coordenadas cartesianas ):
∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=0}
Em coordenadas polares ( r , θ ) {\textstyle (r,~\theta )} , a equação torna-se:
∂ 2 g ∂ r 2 + 1 r ∂ g ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 g ∂ θ 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}g}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial g}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial \theta ^{2}}}=0}
Para obter esta equação faz-se as mudanças de variáveis x = r cos θ {\textstyle x=r{\text{cos }}\theta } , y = r sen θ {\textstyle y=r{\text{sen }}\theta } e g ( r , θ ) = f ( r cos θ , r sen θ ) {\textstyle g(r,\theta )=f(r{\text{cos }}\theta ,r{\text{sen }}\theta )} .
Definição em R 3 {\textstyle \mathbb {R} ^{3}} [ editar | editar código-fonte ] Em três dimensões, o problema consiste em determinar funções reais f {\textstyle f} duplamente diferenciáveis , de variáveis reais x {\textstyle x} , y {\textstyle y} e z {\textstyle z} , tais que:
- em coordenadas cartesianas
∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = 0. {\displaystyle {\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}=0.} - em coordenadas cilíndricas ,
1 ρ ∂ ∂ ρ ( ρ ∂ f ∂ ρ ) + 1 ρ 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = 0 {\displaystyle {1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}=0} - em coordenadas esféricas ,
1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 sin φ ∂ ∂ φ ( sin φ ∂ f ∂ φ ) + 1 r 2 sin 2 φ ∂ 2 f ∂ θ 2 = 0 {\displaystyle {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \varphi }{\partial \over \partial \varphi }\left(\sin \varphi {\partial f \over \partial \varphi }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\varphi }{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}=0} A função Φ : R n − { 0 } → R {\textstyle \Phi :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to \mathbb {R} } definida por:
Φ ( x ) = { − 1 2 π ln | x | , n = 2 1 n ( n − 2 ) α ( n ) 1 | x | n − 2 , n ≥ 3 {\displaystyle \Phi (x)=\left\{{\begin{array}{rr}-{\frac {1}{2\pi }}\ln |x|&,n=2\\{\frac {1}{n(n-2)\alpha (n)}}{\frac {1}{|x|^{n-2}}}&,n\geq 3\end{array}}\right.}
é chamada de solução fundamental da equação de Laplace.[ 1] Aqui, α ( n ) {\textstyle \alpha (n)} denota o volume da bola unitária em R n {\textstyle \mathbb {R} ^{n}} . Verifica-se, por substituição direta, que Δ Φ = 0 {\textstyle \Delta \Phi =0} em R n − { 0 } {\textstyle \mathbb {R} ^{n}-\{0\}} .
A equação de Laplace deve ser complementada com condições de contorno .
Quando como condição de contorno é especificado o valor da função sobre o contorno ∂ D {\textstyle \partial D} do domínio D {\textstyle D} , esta é denominada condição de contorno de Dirichlet :
Δ φ = 0 , x ∈ D φ = g , x ∈ ∂ D {\displaystyle {\begin{array}{rclcl}\Delta \varphi &=&0,\quad &x\in D\\\varphi &=&g,&x\in \partial D\end{array}}} . Como consequência do princípio do máximo forte para funções harmônicas , mostra-se que se D {\textstyle D} é conexo, φ ∈ C 2 ( D ) ∩ C ( D ¯ ) {\textstyle \varphi \in C^{2}(D)\cap C({\bar {D}})} e g ∈ C ( ∂ D ) {\textstyle g\in C(\partial D)} é uma função não-negativa (não-positiva), então φ {\textstyle \varphi } é não-negativa (não-positiva) em D {\textstyle D} . Como consequência, existe no máximo uma solução para o problema de Dirichlet sobre tais hipóteses.[ 1]
Observamos que a unicidade de solução para o problema de Dirichlet pode ser garantida mesmo sem a hipótese de conexidade sobre D {\textstyle D} . Para tanto, veja condição de contorno de Dirichlet para equação de Poisson .
Se u ∈ C 2 ( D ¯ ) {\textstyle u\in C^{2}({\bar {D}})} é solução do problema de Dirichlet acima, então:[ 1]
φ ( x ) = − ∫ ∂ D g ( y ) ∂ G ( x , y ) ∂ ν ( x , y ) d S ( y ) {\displaystyle \varphi (x)=-\int _{\partial D}g(y){\frac {\partial G(x,y)}{\partial \nu }}(x,y)\,dS(y)} onde, ν {\textstyle \nu } é a normal unitária exterior a ∂ D {\textstyle \partial D} e ∂ G ( x , y ) / ∂ ν {\textstyle \partial G(x,y)/\partial \nu } é a derivada normal da função de Green :
G ( x , y ) = Φ ( y − x ) − ϕ x ( y ) , ∀ x , y ∈ D , x ≠ y . {\displaystyle G(x,y)=\Phi (y-x)-\phi ^{x}(y),\quad \forall x,y\in D,~x\neq y.} Aqui, Φ {\textstyle \Phi } é a solução fundamental (veja acima) e, para cada x {\textstyle x} , ϕ x = ϕ x ( y ) {\textstyle \phi ^{x}=\phi ^{x}(y)} é solução de:
Δ ϕ x = 0 , x ∈ D ϕ x = Φ ( y − x ) , x ∈ ∂ D {\displaystyle {\begin{array}{rclcl}\Delta \phi ^{x}&=&0,\quad &x\in D\\\phi ^{x}&=&\Phi (y-x),&x\in \partial D\end{array}}} A fórmula de representação acima depende da função de Green G ( x , y ) {\textstyle G(x,y)} . Em alguns casos esta função é conhecida. Se D = B ( 0 , r ) = { x : ‖ x ‖ < r } {\textstyle D=B(0,r)=\{x:~\|x\|<r\}} , então:[ 1]
G ( x , y ) = r 2 − ‖ x ‖ 2 n α ( n ) r 1 ‖ x − y ‖ n {\displaystyle G(x,y)={\frac {r^{2}-\|x\|^{2}}{n\alpha (n)r}}{\frac {1}{\|x-y\|^{n}}}} a qual é conhecida como núcleo de Poisson para a bola B ( 0 , r ) {\textstyle B(0,r)} . De fato, podemos mostrar que se g ∈ C ( ∂ B ( 0 , r ) ) {\textstyle g\in C(\partial B(0,r))} , então:[ 1]
φ ( x ) = − ∫ ∂ B ( 0 , r ) g ( y ) ∂ G ( x , y ) ∂ ν ( x , y ) d S ( y ) = − r 2 − ‖ x ‖ 2 n α ( n ) r ∫ ∂ B ( 0 , r ) g ( y ) ‖ x − y ‖ n d S ( y ) , ∀ x ∈ B ( 0 , r ) {\displaystyle \varphi (x)=-\int _{\partial B(0,r)}g(y){\frac {\partial G(x,y)}{\partial \nu }}(x,y)\,dS(y)=-{\frac {r^{2}-\|x\|^{2}}{n\alpha (n)r}}\int _{\partial B(0,r)}{\frac {g(y)}{\|x-y\|^{n}}}dS(y),\quad \forall x\in B(0,r)} é solução do problema de Dirichlet no sentido que Δ φ = 0 {\textstyle \Delta \varphi =0} e:
lim x → y x ∈ B ( 0 , r ) φ ( x ) = g ( y ) , ∀ y ∈ ∂ B ( 0 , r ) . {\displaystyle \lim _{\begin{array}{cc}x\to y\\x\in B(0,r)\end{array}}\varphi (x)=g(y),\quad \forall y\in \partial B(0,r).}
Quando como condição de contorno é especificado a derivada normal função incógnita sobre o contorno ∂ D {\textstyle \partial D} do domínio D {\textstyle D} , esta é denominada condição de contorno de Neumann :
Neste caso o valor da derivada normal da função é especificado sobre o contorno:
△ φ = 0 , x ∈ D ∂ ∂ η φ = g , x ∈ ∂ D . {\displaystyle {\begin{array}{rclcl}\triangle \varphi &=&0,\quad &x\in D\\{\frac {\partial }{\partial \eta }}\varphi &=&g,&x\in \partial D\end{array}}.} Uma condição de existência pode ser encontrada integrando a equação em todo o domínio D {\textstyle D} e aplicando a primeira identidade de Green :
0 = ∫ D 0 d x = ∫ D △ φ d x = ∫ ∂ D ∂ ∂ η φ d S ( x ) = ∫ ∂ D g d S ( x ) {\displaystyle 0=\int _{D}0dx=\int _{D}\triangle \varphi dx=\int _{\partial D}{\frac {\partial }{\partial \eta }}\varphi dS(x)=\int _{\partial D}gdS(x)} Referências ↑ a b c d e f Evans, Lawrence C. (2010). Partial Differential Equations 2 ed. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN 978-0821849743 ↑ Figueiredo, Djairo (1987). Análise de Fourier e equações diferenciais parciais 2 ed. [S.l.]: IMPA. ISBN 8524400269