Odwzorowanie Stone’a
Niech K {\displaystyle {\mathcal {K}}} będzie kratą rozdzielną i niech S K = { F ⊆ | K | : F jest filtrem pierwszym } . {\displaystyle {\mathcal {S}}_{\mathcal {K}}=\{F\subseteq |{\mathcal {K}}|\colon \,F{\text{ jest filtrem pierwszym}}\;\}.} Niech dalej
Φ ( a ) := { F ∈ S K : a ∈ F } , a ∈ | K | . {\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(a):=\{F\in {\mathcal {S}}_{\mathcal {K}}\colon \;a\in F\,\}\;,\quad a\in |{\mathcal {K}}|.} Odwzorowanie Φ : K → ℘ ( S K ) {\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}\colon {\mathcal {K}}\to \wp {\big (}{\mathcal {S}}_{\mathcal {K}}{\big )}} nazywamy odwzorowaniem Stone’a .
Dowód twierdzenia o reprezentacji [ edytuj | edytuj kod ] Pokażemy, że odwzorowanie Stone’a jest monomorfizmem kraty K {\displaystyle {\mathcal {K}}} w kratę mnogościową na zbiorze ℘ ( S K ) . {\displaystyle \wp {\big (}{\mathcal {S}}_{\mathcal {K}}{\big )}.}
Różnowartościowość Niech a ≠ b , a , b ∈ | K | . {\displaystyle a\neq b,\,a,b\in |{\mathcal {K}}|.} Bez straty ogólności możemy założyć, że a ⩽̸ b , {\displaystyle a\not \leqslant b,} wówczas z twierdzenia o filtrze pierwszym , istnieje filtr pierwszy F , {\displaystyle F,} dla którego a ∈ F {\displaystyle a\in F} i b ∉ F . {\displaystyle b\not \in F.} Wówczas F ∈ Φ ( a ) ∖ Φ ( b ) , {\displaystyle F\in {\boldsymbol {\Phi }}(a)\setminus {\boldsymbol {\Phi }}(b),} czyli Φ ( a ) ≠ Φ ( b ) . {\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(a)\neq {\boldsymbol {\Phi }}(b).}
Zgodność z działaniami Mamy:
F ∈ Φ ( a ⊓ b ) ⇔ a ⊓ b ∈ F ⇔ a , b ∈ F ⇔ F ∈ Φ ( a ) ∩ Φ ( b ) , {\displaystyle F\in {\boldsymbol {\Phi }}(a\sqcap b)\;\Leftrightarrow \;a\sqcap b\in F\;\Leftrightarrow \;a,b\in F\;\Leftrightarrow \;F\in {\boldsymbol {\Phi }}(a)\cap {\boldsymbol {\Phi }}(b),} skąd
Φ ( a ⊓ b ) = Φ ( a ) ∩ Φ ( b ) . {\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(a\sqcap b)={\boldsymbol {\Phi }}(a)\cap {\boldsymbol {\Phi }}(b).} Dalej:
F ∈ Φ ( a ⊔ b ) ⇔ a ⊔ b ∈ F ⇔ a ∈ F ∨ b ∈ F ⇔ F ∈ Φ ( a ) ∪ Φ ( b ) , {\displaystyle F\in {\boldsymbol {\Phi }}(a\sqcup b)\;\Leftrightarrow \;a\sqcup b\in F\;\Leftrightarrow \;a\in F\,\vee \,b\in F\;\Leftrightarrow \;F\in {\boldsymbol {\Phi }}(a)\cup {\boldsymbol {\Phi }}(b),} skąd
Φ ( a ⊔ b ) = Φ ( a ) ∪ Φ ( b ) . {\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(a\sqcup b)={\boldsymbol {\Phi }}(a)\cup {\boldsymbol {\Phi }}(b).} To kończy dowód.
Rodzina Φ ` ` | H | {\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}{\grave {}}\,{\grave {}}|{\mathcal {H}}|} jest bazą pewnej przestrzeni topologicznej na S K . {\displaystyle {\mathcal {S}}_{\mathcal {K}}.} Przestrzeń tę nazywa się przestrzenią Strone’a . Jak widać, odwzorowanie Stone’a jako wartości przyjmuje zbiory otwarte w tej przestrzeni i dlatego twierdzenie o reprezentacji krat rozdzielnych można sformułować następująco:
dowolna krata rozdzielna jest izomorficzna z podkratą kraty zbiorów otwartych pewnej przestrzeni topologicznej W przypadku, gdy K {\displaystyle {\mathcal {K}}} jest reduktem algebry Boole’a , przestrzeń Stone’a jest zerowymiarową zwartą przestrzenią Hausdorffa (p. twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga ).
Krata rozdzielna i jej filtry Jej obraz w reprezentacji Stone’a