Topologia różniczkowa – Wikipedia, wolna encyklopedia

Topologia różniczkowa – dział topologii korzystający z pojęć i metod analizy matematycznej^[1]; zajmuje się zwłaszcza rozmaitościami różniczkowymi i różniczkowymi odwzorowaniami, w szczególności dyfeomorfizmami, zanurzeniami różniczkowymi i wiązkami wektorowymi^[2].

Ewolucja dyscypliny[edytuj | edytuj kod]

Pierwszych prób skonstruowania topologii na bazie rozmaitości, odwzorowań i form różniczkowych dokonał H. Poincare w końcu XIX wieku. Systematyczne zbudowanie topologii różniczkowej było jednak możliwe dopiero w 30. latach XX wieku^[2]. Właśnie wtedy narodziła się nazwa tej dyscypliny, choć upowszechniła się dekady później^[3].

W latach 50. odkryto różne struktury gładkie na sferze i sklasyfikowano rozmaitości homotopijnie równoważne sferze. Udowodniono również uogólnioną hipotezę Poincare, rozwiązano problem znajdowania pełnego układu niezmienników wszystkich rozmaitości jednospójnych (wymiaru nie mniejszego niż 5)^[2].

W latach 60. metodami topologii różniczkowej rozwiązano wiele problemów:

• topologicznej niezmienniczości klas charakterystycznych rozmaitości rzeczywistych,
• związku między rozmaitościami różniczkowymi, kawałkami liniowymi i topologicznymi,
• uogólnienia na rozmaitości niejednospójne metod klasyfikacji rozmaitości gładkich.

Powstała algebraiczna i hermitowska K-teoria. Dla rozmaitości niejednospójnych odkryto związki między klasami charakterystycznymi i formami hermitowskimi nad grupą fundamentalną rozmaitości a jej homologiami^[2]. Wtedy też nazwa topologii różniczkowej stała się powszechna^[3].

W latach 70. zaczęto wykorzystywać metody topologii różniczkowej w fizyce matematycznej w teoriach cząstek elementarnych, ciekłych kryształów i przejść fazowych (w niskotemperaturowym nadciekłym helu)^[2].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

• Differential topology (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].