Obraz siatki prostokątnej na kwadracie w przekształceniu dyfeomorficznym kwadratu na siebie. Intuicyjnie: przekształcenie to polega na zdeformowaniu siatki prostokątnej bez rozrywania i klejenia. Każda taka deformacja jest homeomorfizmem . Gdy deformacja ta jest funkcją klasy C 1 {\displaystyle C^{1}} – a więc jest ciągła i jej pochodna jest ciągła – to funkcja ta jest dyfeomorfizmem. Dyfeomerfizmem nie byłaby deformacja z tworzeniem ostrych zagięć (choć byłby to homeomorfizm). Dyfeomorfizm – izomorfizm rozmaitości różniczkowych [1] , tj. odwzorowanie bijektywne pomiędzy rozmaitościami różniczkowymi, które jest różniczkowalne oraz takie, iż odwzorowanie do niego odwrotne jest również różniczkowalne.
Niech X {\displaystyle X} i Y {\displaystyle Y} będą przestrzeniami unormowanymi oraz niech D {\displaystyle D} będzie niepustym , otwartym podzbiorem przestrzeni X . {\displaystyle X.}
Przekształcenie F : D → Y {\displaystyle F\colon D\to Y} nazywane jest dyfeomorfizmem , gdy
obraz F ( D ) {\displaystyle F(D)} jest podzbiorem otwartym w Y , {\displaystyle Y,} F {\displaystyle F} jest bijekcją , F {\displaystyle F} i F − 1 {\displaystyle F^{-1}} są klasy C 1 {\displaystyle C^{1}} (gdzie F − 1 : F ( D ) → D {\displaystyle F^{-1}\colon F(D)\to D} jest funkcją odwrotną do F {\displaystyle F} ). Z definicji wynika, że jeśli F {\displaystyle F} jest dyfeomorfizmem, to F {\displaystyle F} i F − 1 {\displaystyle F^{-1}} są odwzorowaniami regularnymi .
Gdy X = R m , {\displaystyle X=\mathbb {R} ^{m},} Y = R k , {\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{k},} to dyfeomorfizmy są po prostu zanurzeniami homeomorficznymi klasy C 1 {\displaystyle C^{1}} o różniczce maksymalnego rzędu , których funkcja odwrotna jest klasy C 1 {\displaystyle C^{1}} w obrazie.
W niektórych publikacjach od dyfeomorfizmu wymaga się, by był funkcją nieskończenie wiele razy różniczkowalną[2] .
Niech D {\displaystyle D} będzie otwartym podzbiorem R m . {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}.} Mówi się, że dyfeomorfizm
Φ = ( φ 1 , … , φ m ) : D → R m {\displaystyle \Phi =(\varphi _{1},\dots ,\varphi _{m})\colon D\to \mathbb {R} ^{m}} jest przywiedlny , gdy istnieją takie i , j ⩽ m , {\displaystyle i,j\leqslant m,} że
φ i ( x 1 , … , x m ) = x j {\displaystyle \varphi _{i}(x_{1},\dots ,x_{m})=x_{j}} dla ( x 1 , … , x m ) ∈ D . {\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{m})\in D.} Dyfeomorfizmy przywiedlne znajdują zastosowanie w dowodzie twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dla funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a .
Funkcja
φ : ( a , b ) → ( α , β ) {\displaystyle \varphi \colon (a,b)\to (\alpha ,\beta )} jest dyfeomorfizmem, gdy jest taką bijekcją klasy C 1 , {\displaystyle C^{1},} że
φ ′ ( t ) ≠ 0 {\displaystyle \varphi '(t)\neq 0} dla t ∈ ( a , b ) {\displaystyle t\in (a,b)} (por. definicję dla X = Y = R m {\displaystyle X=Y=\mathbb {R} ^{m}} ). Dyfeomorfizm φ {\displaystyle \varphi } zachowuje orientację (osi liczbowej ), jeśli
φ ′ > 0 {\displaystyle \varphi '>0} i zmienia orientację w przeciwnym wypadku, tzn. gdy
φ ′ < 0. {\displaystyle \varphi '<0.} Prawdziwe jest następujące twierdzenie teorii hiperpowierzchni dla dyfeomorfizmów zachowujących orientację:
Twierdzenie Niech G {\displaystyle G} będzie otwartym podzbiorem R n , {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},} Γ : [ a , b ] → G {\displaystyle \Gamma \colon [a,b]\to G} będzie drogą kawałkami gładką oraz φ : ( a , b ) → ( α , β ) {\displaystyle \varphi \colon (a,b)\to (\alpha ,\beta )} będzie dyfeomorfizmem. Wówczas dla każdej formy Ω ∈ F 0 1 ( G ; Y ) {\displaystyle \Omega \in F_{0}^{1}(G;Y)}
∫ Γ ∘ φ Ω = ε ( φ ) ∫ Γ Ω , {\displaystyle {}\,\int \limits _{\Gamma \circ \varphi }\Omega =\varepsilon (\varphi )\int \limits _{\Gamma }\Omega ,} gdzie:
ε ( φ ) = + 1 , {\displaystyle \varepsilon (\varphi )=+1,} gdy φ {\displaystyle \varphi } zachowuje orientację, ε ( φ ) = − 1 , {\displaystyle \varepsilon (\varphi )=-1,} gdy φ {\displaystyle \varphi } zmienia orientację. Złożenie dyfeomorfizmów jest dyfeomorfizmem. Automorfizm rozmaitości różniczkowej M {\displaystyle M} jest dyfeomorfizmem rozmaitości M {\displaystyle M} na siebie. Za pomocą działania składania automorfizmów można utworzyć na rozmaitości M {\displaystyle M} grupę automorfizmów. Grupę tę oznacza się symbolem Diff ( M ) . {\displaystyle \operatorname {Diff} (M).}
Dyfeomorfizm biegunowy Niech B = ( 0 , + ∞ ) × ( 0 , 2 π ) ⊂ R 2 . {\displaystyle B=(0,+\infty )\times (0,2\pi )\subset \mathbb {R} ^{2}.} Funkcja określona wzorem b ( r , ϕ ) = ( r ⋅ cos ϕ , r ⋅ sin ϕ ) {\displaystyle b(r,\phi )=(r\cdot \cos \phi ,r\cdot \sin \phi )} przeprowadza B {\displaystyle B} na obszar R 2 ∖ { ( x , 0 ) ∈ R 2 : x ⩾ 0 } . {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \left\{(x,0)\in \mathbb {R} ^{2}:x\geqslant 0\right\}.} Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne biegunowe . Jakobian tego przekształcenia J B = r . {\displaystyle J_{B}=r.} Dyfeomorfizm sferyczny Niech S = ( 0 , + ∞ ) × ( 0 , 2 π ) × ( 0 , π ) ⊂ R 3 . {\displaystyle S=(0,+\infty )\times (0,2\pi )\times (0,\pi )\subset \mathbb {R} ^{3}.} Funkcja określona wzorem s ( r , ϕ , θ ) = ( r ⋅ cos ϕ ⋅ sin θ , r ⋅ sin ϕ ⋅ sin θ , r ⋅ cos θ ) {\displaystyle s(r,\phi ,\theta )=\left(r\cdot \cos \phi \cdot \sin \theta ,\,r\cdot \sin \phi \cdot \sin \theta ,r\cdot \cos \theta \right)} przeprowadza zbiór S {\displaystyle S} na zbiór R 3 ∖ { ( x , y , z ) ∈ R 3 : x ⩽ 0 , y = 0 } . {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\setminus \left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x\leqslant 0,y=0\right\}.} Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne sferyczne . Jakobian tego przekształcenia J S = r 2 sin θ . {\displaystyle J_{S}=r^{2}\sin \theta .} Dyfeomorfizm walcowy Niech W = ( 0 , + ∞ ) × ( 0 , 2 π ) × R ⊂ R 3 . {\displaystyle W=(0,+\infty )\times (0,2\pi )\times \mathbb {R} \subset \mathbb {R} ^{3}.} Funkcja określona wzorem w ( ρ , ϕ , z ) = ( ρ ⋅ cos ϕ , ρ ⋅ sin ϕ , z ) {\displaystyle w(\rho ,\phi ,z)=(\rho \cdot \cos \phi ,\rho \cdot \sin \phi ,z)} przeprowadza W {\displaystyle W} na obszar R 3 ∖ { ( x , y , z ) ∈ R 3 : x ⩽ 0 , y = 0 } . {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\setminus \left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x\leqslant 0,y=0\right\}.} Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne walcowe . Jakobian tego przekształcenia J W = ρ . {\displaystyle J_{W}=\rho .} Niech X {\displaystyle X} i Y {\displaystyle Y} będą przestrzeniami Banacha , D {\displaystyle D} będzie niepustym, otwartym podzbiorem X {\displaystyle X} oraz będzie dane odwzorowanie F : D → Y {\displaystyle F\colon D\to Y} klasy C 1 . {\displaystyle C^{1}.} Jeśli F {\displaystyle F} jest różniczkowalne w punkcie x 0 ∈ D {\displaystyle x_{0}\in D} oraz pochodna ta jest izomorfizmem (liniowym) X {\displaystyle X} na Y , {\displaystyle Y,} to istnieje takie otoczenie U ⊆ D {\displaystyle U\subseteq D} punktu x 0 , {\displaystyle x_{0},} że odwzorowanie F | U {\displaystyle F|_{U}} jest dyfeomorfizmem.
Prostym wnioskiem z twierdzenia o lokalnym dyfeomorfizmie jest fakt, iż odwzorowanie regularne przestrzeni Banacha jest odwzorowaniem otwartym. Twierdzenie to wykorzystywane jest także dla dowodu twierdzenia o funkcji uwikłanej .
↑ dyfeomorfizm , [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-02-18] . ↑ John W. Milnor: Topologia z różniczkowego punktu widzenia . Warszawa: PWN, 1969, s. 11.