Lijst van goniometrische gelijkheden

De goniometrische basisfuncties zijn op diverse manieren met elkaar verbonden. Dit artikel geeft een lijst met goniometrische gelijkheden.

Directe onderlinge relaties[bewerken | brontekst bewerken]

${\displaystyle {\begin{array}{rl}\tan x=&{\cfrac {\sin x}{\cos x}}\\\sec x=&{\cfrac {1}{\cos x}}\\\csc x=&{\cfrac {1}{\sin x}}\\\cot x=&{\cfrac {1}{\tan x}}={\cfrac {\cos x}{\sin x}}\\\end{array}}}$

Grondformule en afgeleiden[bewerken | brontekst bewerken]

${\displaystyle \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1}$

Dit is de grondformule van de goniometrie en is gebaseerd op de stelling van Pythagoras. De tweede en derde zijn hieruit af te leiden door te delen door het kwadraat van de cosinus en sinus.

${\displaystyle \tan ^{2}x+1={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x}$

${\displaystyle \cot ^{2}x+1={\frac {1}{\sin ^{2}x}}=\csc ^{2}x}$

Periodiciteit, symmetrie en verschuivingen[bewerken | brontekst bewerken]

${\displaystyle {\begin{array}{rlrl}\sin x=&\sin(x+2\pi )=\sin(\pi -x)&\sin x=&\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\\\cos x=&\cos(x+2\pi )=\cos(-x)&\cos x=&\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=&\sin \left({\frac {\pi }{2}}+x\right)\\\tan x=&\tan(x+2\pi )=\tan(x+\pi )&\tan x=&\cot \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\\-\sin x=&\sin(x+\pi )=\sin(-x)&\\-\cos x=&\cos(x+\pi )=\cos(\pi -x)&\\-\tan x=&\tan(-x)=\tan(\pi -x)&\end{array}}}$

Gelijkheden voor de som en het verschil van twee hoeken[bewerken | brontekst bewerken]

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\sin(x\pm y)&=&\sin(x)\cos(y)\pm \cos(x)\sin(y)\\\cos(x\pm y)&=&\cos(x)\cos(y)\mp \sin(x)\sin(y)\\\tan(x\pm y)&=&{\cfrac {\tan(x)\pm \tan(y)}{1\mp \tan(x)\tan(y)}}\\\cot(x\pm y)&=&{\cfrac {\cot(x)\cot(y)\mp 1}{\cot(x)\pm \cot(y)}}\\\end{array}}}$

Gelijkheden voor de dubbele hoek[bewerken | brontekst bewerken]

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\sin(2x)&=&2\sin(x)\cos(x)={\cfrac {2\tan(x)}{1+\tan ^{2}(x)}}\\\cos(2x)&=&\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=2\cos ^{2}(x)-1=1-2\sin ^{2}(x)={\cfrac {1-\tan ^{2}(x)}{1+\tan ^{2}(x)}}\\\tan(2x)&=&{\cfrac {2\tan(x)}{1-\tan ^{2}(x)}}\\\end{array}}}$

Derdehoekregel[bewerken | brontekst bewerken]

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\sin(3x)&=&3\sin(x)-4\sin ^{3}(x)\\\cos(3x)&=&4\cos ^{3}(x)-3\cos(x)\\\tan(3x)&=&{\cfrac {3\tan(x)-\tan ^{3}(x)}{1-3\tan ^{2}(x)}}\end{array}}}$

Halveringsformules[bewerken | brontekst bewerken]

Deze formules worden ook naar Carnot genoemd.

${\displaystyle {\begin{array}{ccl}\cos ^{2}(x)&=&{\tfrac {1}{2}}(1+\cos(2x))\\\sin ^{2}(x)&=&{\tfrac {1}{2}}(1-\cos(2x))\\\sin ^{2}(x)\cos ^{2}(x)&=&{\tfrac {1}{8}}(1-\cos(4x))\end{array}}}$

T-formules[bewerken | brontekst bewerken]

Met de t-formules, zo genoemd vanwege de substitutie:

${\displaystyle t=\tan({\tfrac {1}{2}}x)}$

zijn vergelijkingen met goniometrische identiteiten in ${\displaystyle x}$ op te lossen door ze eerst te schrijven als functie van ${\displaystyle t}$ en later weer terug te transformeren naar ${\displaystyle x}$. Er geldt:

${\displaystyle \tan(x)={\frac {2t}{1-t^{2}}}}$

${\displaystyle \cos(x)={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}$

${\displaystyle \sin(x)={\frac {2t}{1+t^{2}}}}$

Gelijkheden voor de halve hoek[bewerken | brontekst bewerken]

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\cos \left({\tfrac {1}{2}}x\right)&=&\pm \,{\sqrt {\cfrac {1+\cos x}{2}}}\\\sin \left({\tfrac {1}{2}}x\right)&=&\pm \,{\sqrt {\cfrac {1-\cos x}{2}}}\\\tan \left({\tfrac {1}{2}}x\right)&=&{\cfrac {\sin({\tfrac {1}{2}}x)}{\cos({\tfrac {1}{2}}x)}}=\pm \,{\sqrt {\cfrac {1-\cos x}{1+\cos x}}}\\\tan \left({\tfrac {1}{2}}x\right)&=&{\cfrac {\sin x}{1+\cos x}}={\cfrac {1-\cos x}{\sin x}}={\cfrac {-1\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}{\tan x}}\\\end{array}}}$

Formules van Simpson[bewerken | brontekst bewerken]

Deze formules zijn naar Thomas Simpson genoemd.

${\displaystyle {\begin{array}{ccrrr}\sin(x)+\sin(y)&=&2\sin {\cfrac {x+y}{2}}\cos {\cfrac {x-y}{2}}\\\sin(x)-\sin(y)&=&2\cos {\cfrac {x+y}{2}}\sin {\cfrac {x-y}{2}}\\\cos(x)+\cos(y)&=&2\cos {\cfrac {x+y}{2}}\cos {\cfrac {x-y}{2}}\\\cos(x)-\cos(y)&=&-2\sin {\cfrac {x+y}{2}}\sin {\cfrac {x-y}{2}}\\\end{array}}}$

Deling van de eerste door de tweede formule geeft

${\displaystyle {\dfrac {\sin(x)+\sin(y)}{\sin(x)-\sin(y)}}={\dfrac {\tan {\dfrac {x+y}{2}}}{\tan {\dfrac {x-y}{2}}}}}$

Omgekeerde formules van Simpson[bewerken | brontekst bewerken]

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\cos(x)\cos(y)&=&{\cfrac {\cos(x-y)+\cos(x+y)}{2}}\\\sin(x)\sin(y)&=&{\cfrac {\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}}\\\sin(x)\cos(y)&=&{\cfrac {\sin(x-y)+\sin(x+y)}{2}}\\\end{array}}}$

Nog twee merkwaardige gelijkheden[bewerken | brontekst bewerken]

${\displaystyle \sin(x)+\sin(y)+\sin(z)-\sin(x+y+z)=4\sin {\dfrac {y+z}{2}}\sin {\dfrac {z+x}{2}}\sin {\dfrac {x+y}{2}}}$

${\displaystyle \cos(x)+\cos(y)+\cos(z)+\cos(x+y+z)=4\cos {\dfrac {y+z}{2}}\cos {\dfrac {z+x}{2}}\cos {\dfrac {x+y}{2}}}$