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数学 の分野における、n 階の双曲型偏微分方程式 （そうきょくがたへんびぶんほうていしき、英 : hyperbolic partial differential equation ）とは、大まかには、n −1 階微分まで良設定 な初期値問題 を含む偏微分方程式 のことを言う。より正確には、非特性的超曲面に沿った任意の初期データに対して局所的に解くことの出来るコーシー問題 のことを言う。力学 に現れる多くの方程式は双曲型であるため、その研究は本質的に重要かつ時代の要求に即したものとして、興味の注がれるものである。双曲型方程式の代表例として、波動方程式 が挙げられる。空間が一次元の場合では、その方程式は
u t t − u x x = 0 {\displaystyle u_{tt}-u_{xx}=0\,} として与えられる。この方程式には、もし u とその一階微分が（十分に滑らかな性質を備えた）初期直線 t = 0 上で任意に特徴付けられる初期データであるなら、すべての時間に対して方程式の解が存在する、という性質がある。
双曲型方程式の解は、「波状」（wave-like）である。双曲型微分方程式の初期データにある擾乱（disturbance）が加えられたとしても、空間のすべての点がその影響を同時に受けることはない。固定された時間座標について、そのような擾乱の伝播速度 は有限である。そのような擾乱は、方程式の特性曲線 に沿って移動する。この特徴は、双曲型方程式を楕円型方程式 や放物型方程式 と区別するものである。楕円型や放物型の方程式の初期（あるいは境界）データに対して与えられる摂動は、本質的に領域内のすべての点に同時に影響を与える。
双曲性の定義は、本質的には定性的（qualitative）なものであるが、考えている微分方程式の種類に依存して、それを判断するための正確な基準が存在する。線型微分作用素 に対して十分に開発された定理は、ラース・ガーディン （英語版 ） 超局所解析 の研究に見られる。非線型微分方程式は、その線型化がガーディンの意味で双曲型であるなら、双曲型である。保存則系 に現れる一階の方程式系に対しても、また幾分か異なる定理が存在する。
偏微分方程式がある点 P において双曲型であるとは、P を通る非特性的超曲面上の任意の初期データに対して、そのコーシー問題 が P のある近傍において一意に解くことが出来ることを言う[1]
A u x x + B u x y + C u y y + (lower order terms) = 0 {\displaystyle Au_{xx}+Bu_{xy}+Cu_{yy}+{\text{(lower order terms)}}=0\,} の形で記述され、
B 2 − 4 A C > 0 {\displaystyle B^{2}-4AC>0\,} を満たすような任意の方程式は、変数の線型変換によって、波動方程式へと変換することが出来る。ただし、低階の項（lower order terms）が残るが、それらは方程式の定性的な理解においては本質的ではない[2] 双曲線 の定義と類似のものである。
一次元の波動方程式
∂ 2 u ∂ t 2 − c 2 ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0} は、双曲型方程式の一例である。二次元および三次元の波動方程式も同様に、双曲型偏微分方程式の範疇に含まれる。
このタイプの二階の双曲型偏微分方程式は、一階の微分方程式からなる双曲系（hyperbolic system）へと変換出来る場合もある[3]
偏微分方程式の双曲系 [ 編集 ] x → ∈ R d {\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}} s {\displaystyle s} 未知関数 u → = ( u 1 , … , u s ) {\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},\ldots ,u_{s})} u → = u → ( x → , t ) {\displaystyle {\vec {u}}={\vec {u}}({\vec {x}},t)}
( ∗ ) ∂ u → ∂ t + ∑ j = 1 d ∂ ∂ x j f j → ( u → ) = 0. {\displaystyle (*)\quad {\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\vec {f^{j}}}({\vec {u}})=0.} ここで f j → ∈ C 1 ( R s , R s ) , j = 1 , … , d {\displaystyle {\vec {f^{j}}}\in C^{1}(\mathbb {R} ^{s},\mathbb {R} ^{s}),j=1,\ldots ,d} 連続的 微分可能 な関数であり、一般的には非線型 である。
今、各 f j → {\displaystyle {\vec {f^{j}}}} s × s {\displaystyle s\times s} 行列
A j := ( ∂ f 1 j ∂ u 1 ⋯ ∂ f 1 j ∂ u s ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f s j ∂ u 1 ⋯ ∂ f s j ∂ u s ) , for j = 1 , … , d {\displaystyle A^{j}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{s}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{s}}}\end{pmatrix}},{\text{ for }}j=1,\ldots ,d} を定義する。
この時、系 ( ∗ ) {\displaystyle (*)} 双曲的 であるとは、すべての α 1 , … , α d ∈ R {\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}\in \mathbb {R} } A := α 1 A 1 + ⋯ + α d A d {\displaystyle A:=\alpha _{1}A^{1}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}} 対角化可能 であり、その固有値 が全て実数であることを言う。
行列 A {\displaystyle A} ( ∗ ) {\displaystyle (*)} 厳密に双曲的 （strictly hyperbolic）であると言う。
双曲系と保存則 [ 編集 ] 双曲系と保存則 には関連がある。一つの未知関数 u = u ( x → , t ) {\displaystyle u=u({\vec {x}},t)} ( ∗ ) {\displaystyle (*)}
( ∗ ∗ ) ∂ u ∂ t + ∑ j = 1 d ∂ ∂ x j f j ( u ) = 0. {\displaystyle (**)\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{f^{j}}(u)=0.} 今、 u {\displaystyle u} 流束 f → = ( f 1 , … , f d ) {\displaystyle {\vec {f}}=(f^{1},\ldots ,f^{d})} ( ∗ ∗ ) {\displaystyle (**)} Ω {\displaystyle \Omega } 積分 する：
∫ Ω ∂ u ∂ t d Ω + ∫ Ω ∇ ⋅ f → ( u ) d Ω = 0. {\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial t}}d\Omega +\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {f}}(u)d\Omega =0.} u {\displaystyle u} f → {\displaystyle {\vec {f}}} 滑らかな関数 であるなら、発散定理 を使い、また積分と ∂ / ∂ t {\displaystyle \partial /\partial t} u {\displaystyle u}
d d t ∫ Ω u d Ω + ∫ ∂ Ω f → ( u ) ⋅ n → d Γ = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }ud\Omega +\int _{\partial \Omega }{\vec {f}}(u)\cdot {\vec {n}}d\Gamma =0} を得ることが出来る。この式は、領域 Ω {\displaystyle \Omega } u {\displaystyle u} ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } u {\displaystyle u} Ω {\displaystyle \Omega }
関連項目 [ 編集 ] ^ Rozhdestvenskii ^ Evans 1998, p.400 ^ Evans 1998, p.402 参考文献 [ 編集 ] Evans, Lawrence C. (2010) [1998], Partial differential equations 19 (2nd ed.), Providence, R.I.: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4974-3 , MR 2597943 , http://www.ams.org/journals/bull/2000-37-03/S0273-0979-00-00868-5/S0273-0979-00-00868-5.pdf A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9 Rozhdestvenskii, B.L. (2001), “Hyperbolic partial differential equation” , in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics ISBN 978-1-55608-010-4 , https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Hyperbolic_partial_differential_equation 外部リンク [ 編集 ] 
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