像 (圏論)

圏 C と C における射 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ が与えられたとき，f の像（ぞう，英: image）は単射 ${\displaystyle h\colon I\to Y}$ であって以下の普遍性を満たすものである^[1]：

• f = hg なる射 ${\displaystyle g\colon X\to I}$ が存在する。
• 任意の対象 Z と射 ${\displaystyle k\colon X\to Z}$ と単射 ${\displaystyle l\colon Z\to Y}$ であって f = lk なるものに対し h = lm なる射 ${\displaystyle m\colon I\to Z}$ が存在する。

注意：

• そのような分解が存在するとは限らない。
• g は h の単射性（左可逆）により一意である。
• m は単射である。
• h = lm は（l の単射性より） m が一意であることを含んでいる。

f の像はしばしば im f あるいは Im(f) と記される。

例[編集]

集合の圏において射 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ の像は通常の像 ${\displaystyle \{f(x)\mid x\in X\}}$ から Y への包含である。群の圏やアーベル群の圏や（左または右）加群の圏など多くの具体圏（英語版）において、射の像は集合の圏における対応する射の像である。

零対象とすべての射に対して核と余核を持つ任意の正規圏（英語版）において、射 f の像は

im f = ker coker f

と表せる。アーベル圏（これはとくに双正規である）において f が単射ならば f = ker coker f であり、したがって f = im f である。

脚注[編集]

参考文献[編集]

• Mitchell, Barry (1965), Theory of categories, Pure and applied mathematics, 17, Academic Press, ISBN 978-0-124-99250-4, MR0202787 

関連項目[編集]

• 部分対象
• 余像
• 像 (数学)

表 話 編 歴 圏論
主要項目	圏 射 エピ モニック 図式 可換図式 自然変換 圏同値 反対圏 始対象と終対象 普遍性 米田の補題 双対 極限 帰納極限 射影極限 積 余積 像 余像 等化子 余等化子 トポス 核 余核 引き戻し モナド Kan拡張
関手	加法的 完全 充満 随伴 対角 忠実 導来 表現可能 本質的全射 Hom関手
具体的圏	関手圏 前加法圏 集合の圏 マグマの圏 群の圏 アーベル群の圏 擬環の圏 環の圏 加群の圏 ベクトル空間の圏 多元環の圏 位相空間の圏 距離空間の圏 多様体の圏
圏の類	完備圏 コンマ圏 部分圏 モノイド閉圏 デカルト閉圏 アーベル圏 導来圏 クライスリ圏 デカルトモノイド圏
一般化	豊穣圏 2-圏 圏の圏
人物	ソーンダース・マックレーン サミュエル・アイレンベルグ アレクサンドル・グロタンディーク ウィリアム・ローヴェア ハインリッヒ・クライスリ
関連分野	代数幾何学 普遍代数 ホモロジー代数
関連項目	『圏論の基礎』
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