数学 の一分野である函数解析学 において、ベクトル空間 の部分集合の代数的内部 (だいすうてきないぶ、英 : algebraic interior )あるいは動径核 (radial kernel)は、集合の内部 を細緻化する概念である。与えられた集合の代数的内部とは、その集合に属する点であって、その点を原点としてもとの集合が併呑 となるような点、すなわちその集合の動径点 (英語版 ) [1] の全体である。代数的内部の元は、しばしば(代数的)内点 (internal points)と呼ばれる[2] [3] 。
具体的に、 X {\displaystyle X} が線型空間 であるとき、 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} の代数的内部は次で定義される。
core ( A ) := { x 0 ∈ A : ∀ x ∈ X , ∃ t x > 0 , ∀ t ∈ [ 0 , t x ] , x 0 + t x ∈ A } . {\displaystyle \operatorname {core} (A):=\left\{x_{0}\in A:\forall x\in X,\,\exists t_{x}>0,\,\forall t\in [0,t_{x}],\,x_{0}+tx\in A\right\}.} [4] 一般に core ( A ) ≠ core ( core ( A ) ) {\displaystyle \operatorname {core} (A)\neq \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))} であることに注意されたい。しかし A {\displaystyle A} が凸集合 であるなら、 core ( A ) = core ( core ( A ) ) {\displaystyle \operatorname {core} (A)=\operatorname {core} (\operatorname {core} (A))} である。また A {\displaystyle A} が凸集合であるときは、 x 0 ∈ core ( A ) , y ∈ A , 0 < λ ≤ 1 {\displaystyle x_{0}\in \operatorname {core} (A),y\in A,0<\lambda \leq 1} に対して λ x 0 + ( 1 − λ ) y ∈ core ( A ) {\displaystyle \lambda x_{0}+(1-\lambda )y\in \operatorname {core} (A)} が成立する。
A ⊂ R 2 {\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{2}} が A = { x ∈ R 2 : x 2 ≥ x 1 2 or x 2 ≤ 0 } {\displaystyle A=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}\geq x_{1}^{2}{\text{ or }}x_{2}\leq 0\}} で与えられるなら、 0 ∈ core ( A ) {\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A)} である。しかし、 0 ∉ int ( A ) {\displaystyle 0\not \in \operatorname {int} (A)} および 0 ∉ core ( core ( A ) ) {\displaystyle 0\not \in \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))} である。
A , B ⊂ X {\displaystyle A,B\subset X} であるなら、次が成り立つ。
A {\displaystyle A} が併呑集合 であるための必要十分条件は、 0 ∈ core ( A ) {\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A)} である[1] 。 A + core B ⊂ core ( A + B ) {\displaystyle A+\operatorname {core} B\subset \operatorname {core} (A+B)} [5] B = core B {\displaystyle B=\operatorname {core} B} [5] であるなら、 A + core B = core ( A + B ) {\displaystyle A+\operatorname {core} B=\operatorname {core} (A+B)} である[5] 。 内部との関係 [ 編集 ] X {\displaystyle X} を線型位相空間 とし、 int {\displaystyle \operatorname {int} } を内部作用素とし、 A ⊂ X {\displaystyle A\subset X} とする。このとき次が成り立つ:
int A ⊆ core A {\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {core} A} A {\displaystyle A} が空でない凸集合で、 X {\displaystyle X} が有限次元であるなら、 int A = core A {\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A} である[2] 。 A {\displaystyle A} が凸集合で、その内部が空でないなら、 int A = core A {\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A} である[6] 。 A {\displaystyle A} が閉凸集合で、 X {\displaystyle X} が完備距離空間 であるなら、 int A = core A {\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A} である[7] 。 ^ a b Jaschke, Stefan; Kuchler, Uwe (2000). Coherent Risk Measures, Valuation Bounds, and ( μ , ρ {\displaystyle \mu ,\rho } )-Portfolio Optimization . ^ a b Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3 ed.). Springer. pp. 199–200. doi :10.1007/3-540-29587-9 . ISBN 978-3-540-32696-0 ^ John Cook (1988年5月21日). “Separation of Convex Sets in Linear Topological Spaces ” (pdf). 2015年5月26日 閲覧。 ^ Nikolaĭ Kapitonovich Nikolʹskiĭ (1992). Functional analysis I: linear functional analysis . Springer. ISBN 978-3-540-50584-6 ^ a b c Zălinescu, C. (2002). Convex analysis in general vector spaces . River Edge, NJ,: World Scientific Publishing Co., Inc. pp. 2–3. ISBN 981-238-067-1 . MR 1921556 ^ Shmuel Kantorovitz (2003). Introduction to Modern Analysis . Oxford University Press. p. 134. ISBN 9780198526568 ^ Bonnans, J. Frederic; Shapiro, Alexander (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems , Springer series in operations research, Springer, Remark 2.73, p. 56, ISBN 9780387987057 , https://books.google.co.jp/books?id=ET70F9HgIpIC&pg=PA56&redir_esc=y&hl=ja . 関連項目 [ 編集 ]