Unità di misura di Planck

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Nella fisica delle particelle e nella cosmologia, le unità di Planck sono un insieme di unità di misura definite esclusivamente in termini di cinque costanti fisiche universali, in modo tale che queste cinque costanti fisiche assumano il valore numerico di 1 quando espresse in termini di queste unità.

Originariamente proposte nel 1899 dal fisico tedesco Max Planck, queste unità sono anche conosciute come unità naturali perché l'origine della loro definizione deriva solo da proprietà della natura e non da alcun costrutto umano,come ad esempio l'intensità luminosa (misurata in candele), il flusso luminoso (misurato in lumen), e la dose equivalente (misurata in Sievert), né derivano da qualsiasi proprietà della terra o dell'universo (come per esempio accade per l'accelerazione di gravità, l'atmosfera standard o la costante di Hubble), né da qualsiasi caratteristica di una data sostanza (come il punto di fusione dell'acqua, la densità dell'acqua o la capacità termica specifica dell'acqua). Le unità di Planck sono solo un insieme di più sistemi di unità naturali, ma non si basano sulle proprietà di alcun oggetto prototipo o particella che sarebbe scelta arbitrariamente (come la carica elementare, la massa a riposo dell'elettrone o la massa a riposo del protone), ma piuttosto si basano sulle proprietà dello spazio libero: difatti la velocità di Planck è la velocità della luce, il momento angolare di Planck è la costante ridotta di Planck, la resistenza di Planck è l'impedenza di spazio libero, l'entropia di Planck è la costante di Boltzmann, tutte sono proprietà dello spazio libero. Le unità di Planck hanno un significato rilevante per la fisica teorica poiché semplificano diverse espressioni algebriche mediante la cosiddetta non dimensionalizzazione. Sono altresì rilevanti nella ricerca su teorie unificate come la gravità quantistica.

Il termine scala di Planck si riferisce alle magnitudini di spazio, tempo, energia e altre unità, al di sotto delle quali (od oltre le quali) le previsioni del Modello standard, la teoria quantistica dei campi e la relatività generale non sono più riconciliabili, e si prevedono dominare gli effetti quantistici della gravità. Questa regione può essere caratterizzata da energie tra i ${\displaystyle 5.52\times 10^{8}\,\mathrm {J} }$ e i ${\displaystyle 1.96\times 10^{9}\,\mathrm {J} }$ (chiamate appunto energie di Planck), intervalli di tempo tra i ${\displaystyle 1.91\times 10^{-43}s}$ e i ${\displaystyle 5.39\times 10^{-44}s}$ (chiamati tempi di Planck) e lunghezze tra i ${\displaystyle 5.73\times 10^{-35}m}$ e i ${\displaystyle 1.62\times 10^{-35}m}$ (chiamate lunghezze di Planck). Su scala Planck, non ci si aspetta che i modelli attuali siano una guida utile al cosmo, e i fisici non hanno un modello scientifico per suggerire come si comporta l'universo fisico. L'esempio più noto è rappresentato dalle condizioni nei primi ${\displaystyle 10^{-43}}$ secondi del nostro universo dopo il Big Bang, circa 13,8 miliardi di anni fa. Nel nuovo 2019 CODATA da NIST si prevede di usare le unità di Planck come future unità in sostituzione delle unità attuali internazionali di riferimento.

Esistono due versioni delle unità di Planck, la versione di Lorentz – Heaviside (chiamata anche razionalizzata) e la versione gaussiana (chiamata anche non razionalizzata).

Le costanti universali che le unità di Planck, per definizione, normalizzano a ${\displaystyle 1}$ sono:

• la velocità della luce nel vuoto, ${\displaystyle c}$, (nota anche come velocità di Planck)
• la costante gravitazionale, ${\displaystyle G}$
  • ${\displaystyle G}$ per la versione gaussiana, ${\displaystyle 4\pi G}$ per la versione Lorentz – Heaviside
• la costante ridotta di Planck, ${\displaystyle \hbar }$, (nota anche come azione di Planck)
• la permittività del vuoto, ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ (nota anche come permittività di Planck)
  • ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ per la versione Lorentz – Heaviside, ${\displaystyle 4\pi \varepsilon _{0}}$ per la versione gaussiana
• la costante di Boltzmann, ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ (nota anche come capacità termica di Planck).

Ciascuna di queste costanti può essere associata a una teoria o concetto fisico fondamentale:

• ${\displaystyle c}$ con la relatività speciale,
• ${\displaystyle G}$ con la relatività generale,
• ${\displaystyle \hbar }$ con la meccanica quantistica,
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ con l'elettromagnetismo,
• ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ con le nozioni dell'entropia, della meccanica statistica e della termodinamica.

Introduzione[modifica | modifica wikitesto]

A qualsiasi sistema di misura può essere assegnato un insieme reciprocamente indipendente di quantità di base e unità di misura di base associate, da cui possono derivare tutte le altre quantità e unità. Nel Sistema internazionale, ad esempio, le quantità di base includono la lunghezza con l'unità associata del metro. Nel sistema di unità di Planck, è possibile selezionare un insieme simile di quantità di base e l'unità di base Planck per la lunghezza è quindi nota semplicemente come lunghezza di Planck, l'unità di base del tempo è il tempo di Planck, e così via. Queste unità sono derivate dalle costanti fisiche universali a cinque dimensioni della Tabella 1, in modo tale che queste costanti vengano eliminate dalle equazioni fondamentali delle leggi della fisica quando le quantità fisiche sono espresse in termini di unità di Planck. Ad esempio, la legge di gravitazione universale di Newton

${\displaystyle {\begin{aligned}F&=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\\&=\left({\frac {F_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}}{m_{\text{P}}^{2}}}\right){\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\end{aligned}}}$

può essere espressa come:

${\displaystyle {\frac {F}{F_{\text{P}}}}={\frac {\left({\dfrac {m_{1}}{m_{\text{P}}}}\right)\left({\dfrac {m_{2}}{m_{\text{P}}}}\right)}{\left({\dfrac {r}{l_{\text{P}}}}\right)^{2}}}.}$

Entrambe le equazioni sono dimensionalmente coerenti e ugualmente valide in qualsiasi sistema di unità, ma la seconda equazione, con ${\displaystyle G}$ mancante, riguarda solo le quantità senza dimensioni poiché qualsiasi rapporto tra due quantità con dimensioni simili è una grandezza adimensionale. Se si intende che ogni grandezza fisica è il rapporto corrispondente ad una coerente unità di Planck (o "espresso in unità di Planck"), i rapporti di cui sopra possono essere espressi semplicemente con i simboli della grandezza fisica, senza essere scalati esplicitamente dalla loro unità corrispondente:

${\displaystyle F={\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\ .}$

Quest'ultima equazione (senza ${\displaystyle G}$) è valida solo se ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle m_{1}}$, ${\displaystyle m_{2}}$ e ${\displaystyle r}$ sono valori numerici senza dimensioni delle stesse grandezze fisiche misurate in termini di unità di Planck. Questo è il motivo per cui le unità di Planck o qualsiasi altro uso di unità naturali devono essere impiegate con attenzione. Riferendosi a ${\displaystyle G=c=1}$, Paul S. Wesson scrisse che:^[1]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

In fisica, le unità di misura di Planck sono un particolare sistema di unità naturali, in cui cinque costanti hanno valore unitario:

Tabella 1: Unità universali dal 2018 CODATA normalizzate alle unità di Planck

Costante	Simbolo	Dimensioni fisiche	Valore	Teorie associate
Velocità della luce nel vuoto	${\displaystyle c}$	${\displaystyle \left[L\right]\left[T\right]^{-1}}$	${\displaystyle 299792458\;{\frac {m}{s}}}$[2](esatta per definizione)	Elettromagnetismo Relatività ristretta
Costante gravitazionale	${\displaystyle G}$	${\displaystyle \left[M\right]^{-1}\left[L\right]^{3}\left[T\right]^{-2}}$	${\displaystyle 6,67430(15)\cdot 10^{-11}{\frac {m^{3}}{kg\;s^{2}}}}$[3]	Relatività generale Gravità newtoniana
Costante di Planck ridotta	${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ dove ${\displaystyle h}$ è la costante di Planck	${\displaystyle \left[M\right]\left[L\right]^{2}\left[T\right]^{-1}}$	${\displaystyle 1,054571817\ldots \cdot 10^{-34}\;\mathrm {J} s}$[4](esatta per definizione da h = 6,626 070 15 × 10−34 J⋅s)	Meccanica quantistica
Costante della forza di Coulomb	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$ dove ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ è la costante dielettrica nel vuoto	${\displaystyle \left[M\right]\left[L\right]^{3}\left[T\right]^{-2}\left[Q\right]^{-2}}$	${\displaystyle 8,9875517923(14)\cdot 10^{9}\;{\frac {kg\cdot m^{3}}{s^{4}\cdot \mathrm {A} ^{2}}}}$[5]	Elettrostatica
Costante di Boltzmann	${\displaystyle k_{\text{B}}}$	${\displaystyle \left[M\right]\left[L\right]^{2}\left[T\right]^{-2}\left[\Theta \right]^{-1}}$	${\displaystyle 1,380649\cdot 10^{-23}\;{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}}$[6](esatta per definizione)	Termodinamica Meccanica statistica
Località di Planck, seconda costante di radiazione	${\displaystyle C_{2}={\frac {hc}{k_{\text{B}}}}}$	${\displaystyle \left[L\right]\left[\Theta \right]}$	${\displaystyle 0,01438777\;m\cdot \mathrm {K} }$	Termodinamica Meccanica statistica Elettromagnetismo
Costante di Stefan-Boltzmann	${\displaystyle \sigma ={\frac {{\pi }^{2}{k}_{\text{B}}^{4}}{60{\hbar }^{3}{c}^{2}}}={\frac {{2\pi }^{5}{k}_{\text{B}}^{4}}{15{h}^{3}{c}^{2}}}}$	${\displaystyle \left[M\right]\left[T\right]^{-3}\left[\Theta \right]^{-4}}$	${\displaystyle 5,67037441\ldots \cdot 10^{-8}\;{\frac {\mathrm {W} }{m^{2}\cdot \mathrm {K^{4}} }}}$	Termodinamica Elettromagnetismo
Carica elementare	${\displaystyle e=q_{e}}$	${\displaystyle \left[Q\right]}$	${\displaystyle 1,602176634\cdot 10^{-19}\;\mathrm {C} }$ (esatta per definizione)	Elettrostatica
Costante di struttura fine o costante di Sommerfeld	${\displaystyle {\alpha }={\alpha _{e}}={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}}}$	Numero adimensionale	${\displaystyle 0,0072973525693(11)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{137,035999084(21)}}}$	Elettromagnetismo Teoria Atomica

Nota: ${\displaystyle \mathrm {L} }$ = lunghezza, ${\displaystyle \mathrm {M} }$ = massa, ${\displaystyle \mathrm {T} }$ = tempo, ${\displaystyle \mathrm {Q} }$ = carica, ${\displaystyle \Theta }$ = temperatura.

Le unità naturali possono aiutare i fisici a rispondere alcune domande. Frank Wilczek probabilmente ha fatto l'osservazione più acuta:

L'intensità della gravità è semplicemente quella che è, così come l'intensità della forza elettromagnetica è semplicemente quella che è. La forza elettromagnetica opera in base alla carica elettrica, diversamente dalla gravità, che opera in base alla massa, così che non sia possibile una diretta comparazione tra le due: è da notare, infatti, come la gravità sia una forza estremamente debole rispetto alla forza elettromagnetica; dal punto di vista delle unità naturali, sarebbe come paragonare le mele con le arance perché la massa e la carica sono grandezze incommensurabili. Vero è che la forza elettrostatica repulsiva tra due protoni che si trovino in uno spazio vuoto surclassa la forza di attrazione gravitazionale tra gli stessi, ma la disparità di intensità delle due forze è una manifestazione del fatto che la carica dei protoni è approssimativamente la carica unitaria, mentre la massa dei protoni è molto inferiore alla massa unitaria.

Le unità di Planck hanno il vantaggio di semplificare molte equazioni fisiche, rimuovendo i fattori di conversione, per questo motivo sono molto usate nella teoria dei quanti.

Risolvendo le cinque equazioni precedenti per le cinque incognite si ottiene un insieme unico di valori per le cinque unità di Planck di base:

Unità di Planck fondamentali[modifica | modifica wikitesto]

Tabella 2: Unità di Planck dal 2018 CODATA

Dimensione	Formula	versione di Lorentz–Heaviside[8][9]	Versione gaussiana[10][11]	Valore di Lorentz-Heaviside[12][13]	Valore nel Sistema Internazionale gaussiano[14]
Lunghezza di Planck	Lunghezza ${\displaystyle \left[L\right]}$	${\displaystyle l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {4\pi \hbar G}{c^{3}}}}}$	${\displaystyle l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}}$	${\displaystyle 5,729475\cdot 10^{-35}\;m}$	${\displaystyle 1,616255(18)\cdot 10^{-35}\;m}$
Massa di Planck	Massa ${\displaystyle \left[M\right]}$	${\displaystyle m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{4\pi G}}}}$	${\displaystyle m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}}$	${\displaystyle 6,139608\cdot 10^{-9}\;kg}$	${\displaystyle 2,176434(24)\cdot 10^{-8}\;kg}$
Tempo di Planck	Tempo ${\displaystyle \left[T\right]}$	${\displaystyle t_{\text{P}}={\sqrt {\frac {4\pi \hbar G}{c^{5}}}}}$	${\displaystyle t_{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}}{c}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}}$	${\displaystyle 1,911147\cdot 10^{-43}\;s}$	${\displaystyle 5,391247(60)\cdot 10^{-44}\,s}$
Carica di Planck	Carica elettrica ${\displaystyle \left[Q\right]}$	${\displaystyle q_{\text{P}}={\sqrt {\varepsilon _{0}\hbar c}}}$	${\displaystyle q_{\text{P}}={\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}}}$	${\displaystyle 5,290818\cdot 10^{-19}\;\mathrm {C} }$	${\displaystyle 1,875545956(41)\cdot 10^{-18}\;\mathrm {C} }$
Temperatura di Planck	Temperatura ${\displaystyle \left[\Theta \right]}$	${\displaystyle \Theta _{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{4\pi G{k_{\text{B}}}^{2}}}}}$	${\displaystyle {{\Theta }_{\text{P}}}={\frac {{{m}_{\text{P}}}{{c}^{2}}}{{k}_{B}}}={\sqrt {\frac {\hbar {{c}^{5}}}{Gk_{\text{B}}^{2}}}}}$	${\displaystyle 3,996674\cdot 10^{31}\;\mathrm {K} }$	${\displaystyle 1,416784(16)\cdot 10^{32}\;\mathrm {K} }$

Nota: ${\displaystyle \mathrm {L} }$ = lunghezza, ${\displaystyle \mathrm {M} }$ = massa, ${\displaystyle \mathrm {T} }$ = tempo, ${\displaystyle \mathrm {Q} }$ = carica, ${\displaystyle \Theta }$ = temperatura.

Le tre costanti della fisica sono espresse in questo modo semplicemente, mediante l'uso delle unità fondamentali di Planck:

${\displaystyle c={\frac {l_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}}$

${\displaystyle \hbar ={\frac {m_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}}{t_{\text{P}}}}}$

${\displaystyle G={\frac {l_{\text{P}}^{3}}{m_{\text{P}}t_{\text{P}}^{2}}}}$

Nel 1899 Max Planck propose di partire dalle costanti fondamentali (che sono: nella teoria della gravitazione, la costante di Newton ${\displaystyle {G}\ }$; nell'elettrostatica la costante di Coulomb ${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$; nell'elettromagnetismo e nella relatività la velocità della luce ${\displaystyle {c}\ }$; nella termodinamica la costante di Boltzmann ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ e nella meccanica quantistica la costante di Planck ridotta ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$) per definire le unità di misura di lunghezza, tempo, massa, carica e temperatura, invece di fare il contrario^[15]. Ottenne un sistema di misura alternativo basato su «unità di Planck» in cui la costante di Newton è l'attrazione gravitazionale esercitata da due masse di Planck poste alla distanza di Planck, la costante di Coulomb è l'attrazione elettrica esercitata da due cariche di Planck poste alla distanza di Planck, la velocità della luce è la velocità di percorrenza della lunghezza di Planck nel tempo di Planck, la costante di Boltzmann è l'energia termica della temperatura di Planck e la costante di Planck è l'energia della frequenza pari all'inverso del tempo di Planck. Planck fu molto soddisfatto della scoperta delle sue unità di misura perché «mantengono il loro significato in tutti i tempi e luoghi, e risultano sempre uguali anche se misurate dalle intelligenze più disparate», mentre le costanti universali assumono valori diversi a seconda del sistema di misura considerato (il sistema internazionale di misura (SI), piuttosto che il sistema CGS). Le unità di Planck però portano con sé i limiti delle teorie attuali, nel senso che al di sotto delle lunghezze, dei tempi e delle cariche di Planck, o al di sopra delle masse e delle temperature di Planck, la fisica come la conosciamo perde di senso. Quanto ai loro valori, il tempo di Planck è circa ${\displaystyle {\text{10}}^{-43}}$ secondi, la lunghezza di Planck è ${\displaystyle {\text{10}}^{20}}$ volte più piccola di un protone, la massa di Planck è pari a ${\displaystyle {\text{10}}^{19}}$ protoni e farebbe collassare un quanto in un buco nero, la carica di Planck è ${\displaystyle {\text{12}}}$ volte maggiore di quella di un elettrone o un protone, la temperatura di Planck, infine, è di circa ${\displaystyle {\text{10}}^{30}}$ gradi, e un corpo che la raggiungesse emetterebbe radiazioni aventi lunghezze d'onda pari alla lunghezza di Planck.^[16]

La tabella definisce chiaramente le unità di Planck in termini di costanti fondamentali. Tuttavia, rispetto ad altre unità di misura come quelle del sistema internazionale, i valori delle unità di Planck, diversi dalla carica Planck, sono conosciuti solo approssimativamente. Ciò è dovuto all'incertezza nel valore della costante gravitazionale ${\displaystyle G}$ misurata rispetto alle definizioni del SI. Oggi il valore della velocità della luce ${\displaystyle c}$ nelle unità SI non è soggetto a errori di misurazione, poiché l'unità base SI di lunghezza, il metro, è ora definita come la lunghezza del percorso dalla luce nel vuoto durante un intervallo di tempo di ${\displaystyle {\frac {1}{299792458}}}$ di secondo. Quindi il valore di ${\displaystyle c}$ è ora esatto per definizione e non contribuisce all'incertezza degli equivalenti SI delle unità di Planck. Lo stesso vale per il valore della permittività del vuoto ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$, a causa della definizione di ampere che imposta la permeabilità magnetica del vuoto ${\displaystyle \mu _{0}}$ a ${\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}{\frac {H}{m}}}$: infatti, poiché ${\displaystyle \mu _{0}}$ e ${\displaystyle c}$ sono ben definite, dalla relazione ${\displaystyle \mu _{0}\varepsilon _{0}={\frac {1}{c^{2}}}}$ è possibile ricavare un valore di ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ privo di incertezze. Il valore numerico della costante ridotta di Planck ${\displaystyle \hbar }$ è stato determinato sperimentalmente a 12 parti per miliardo, mentre quello di ${\displaystyle G}$ è stato determinato sperimentalmente a non migliore di 1 parte su 21300 (o 47000 parti per miliardo).^[17] ${\displaystyle G}$ appare nella definizione di quasi tutte le unità di Planck nelle tabelle 2 e 3, ma non tutte. Quindi l'incertezza nei valori degli equivalenti SI delle unità di Planck deriva quasi interamente dall'incertezza nel valore di ${\displaystyle G}$. (La propagazione dell'errore in ${\displaystyle G}$ è una funzione dell'esponente di ${\displaystyle G}$ nell'espressione algebrica per un'unità. Poiché tale esponente è ${\displaystyle \pm {\frac {1}{2}}}$ per ogni unità base diversa dalla carica di Planck, l'incertezza relativa di ciascuna unità di base è circa la metà di quella di ${\displaystyle G}$. Questo è davvero il caso; secondo CODATA, i valori sperimentali degli equivalenti SI delle unità di Planck di base sono noti a circa 1 parte su 43500, o 23000 parti per miliardo). Dopo il 20 maggio 2019, ${\displaystyle h}$ (e quindi ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ ) è un valore di riferimento esatto, ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ è anch'essa esatta ma, poiché ${\displaystyle G}$ non è ancora esatta, anche i valori di ${\displaystyle \ell _{\text{P}}}$, ${\displaystyle m_{\text{P}}}$, ${\displaystyle t_{\text{P}}}$ e ${\displaystyle \theta _{\text{P}}}$ non sono esatti. Inoltre, ${\displaystyle \mu _{0}}$ (e quindi ${\displaystyle \varepsilon _{0}={\frac {1}{c^{2}\mu _{0}}}}$) non è più esatto (solo la carica ${\displaystyle e}$ è esatta), quindi anche ${\displaystyle q_{\text{P}}}$ non è esatto come precisione numerica.

Unità di Planck derivate[modifica | modifica wikitesto]

In qualsiasi sistema di misura, le unità per molte grandezze fisiche possono essere derivate da unità di base. La tabella 3 offre un campione di unità di Planck derivate, alcune delle quali in realtà sono usate raramente. Come per le unità di base, il loro uso è per lo più limitato alla fisica teorica perché la maggior parte di esse è troppo grande o troppo piccola per un uso empirico o pratico, e vi sono grandi incertezze nei loro valori.

Tabella 3: Unità derivate di Planck approssimate

Dimensione	Formula	Espressione		Valore, nel SI approssimata
		Versione di Lorentz–Heaviside[18]	Versione gaussiana[19][20][21][22]	Valore nel SI Lorentz-Heaviside	Valore nel SI Gaussiana
Proprietà meccanico-fisiche
Area di Planck	Area ${\displaystyle \left[L\right]^{2}}$	${\displaystyle l_{\text{P}}^{2}={\frac {4\pi \hbar G}{c^{3}}}}$	${\displaystyle l_{\text{P}}^{2}={\frac {\hbar G}{c^{3}}}}$	${\displaystyle 3,282688\cdot 10^{-69}\;m^{2}}$	${\displaystyle 2,612280\cdot 10^{-70}\;m^{2}}$
Volume di Planck	Volume ${\displaystyle \left[L\right]^{3}}$	${\displaystyle l_{\text{P}}^{3}={\sqrt {\frac {64\pi ^{3}\hbar ^{3}G^{3}}{c^{9}}}}}$	${\displaystyle l_{\text{P}}^{3}=\left({\frac {\hbar G}{c^{3}}}\right)^{\frac {3}{2}}={\sqrt {\frac {\hbar ^{3}G^{3}}{c^{9}}}}}$	${\displaystyle 1,880808\cdot 10^{-103}\;m^{3}}$	${\displaystyle 4,222111\cdot 10^{-105}\;m^{3}}$
Velocità di Planck	Velocità ${\displaystyle \left[L\right]\left[T\right]^{-1}}$	${\displaystyle v_{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}=c}$		${\displaystyle 299.792.458\;{\frac {m}{s}}}$
Planck Angolare	Radiante ${\displaystyle \left[L\right]\left[L\right]^{-1}\to }$adimensionale	${\displaystyle \theta _{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}=1}$		${\displaystyle 1\;\mathrm {rad} }$
Planck steradiante	Angolo solido ${\displaystyle \left[L\right]^{2}\left[L\right]^{-2}\to }$ adimensionale	${\displaystyle \theta _{\text{P}}^{2}={\frac {l_{\text{P}}^{2}}{l_{\text{P}}^{2}}}=1}$		${\displaystyle 1\;\mathrm {sr} }$
Quantità di moto di Planck	Quantità di moto ${\displaystyle \left[L\right]\left[M\right]\left[T\right]^{-1}}$	${\displaystyle m_{\text{P}}c={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{4\pi G}}}}$	${\displaystyle m_{\text{P}}c={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}}$	${\displaystyle 1,840608\;\mathrm {N} \cdot s}$	${\displaystyle 6,524785\;kg\cdot {\frac {m}{s}}}$
Energia di Planck	Energia ${\displaystyle \left[M\right]\left[L\right]^{2}\left[T\right]^{-2}}$	${\displaystyle E_{\text{P}}=m_{\text{P}}v_{\text{P}}^{2}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{4\pi G}}}}$	${\displaystyle E_{\text{P}}={{m}_{\text{P}}}{{c}^{2}}={\frac {\hbar }{{t}_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar {{c}^{5}}}{G}}}}$	${\displaystyle 5.518004\cdot 10^{8}\;\mathrm {J} }$ ${\displaystyle 153,278\;k\mathrm {W} \cdot h}$ ${\displaystyle 3,444067\cdot 10^{18}Ge\mathrm {V} }$	${\displaystyle 1,956081\cdot 10^{9}\mathrm {J} }$ ${\displaystyle 543,356\;k\mathrm {W} \cdot h}$ ${\displaystyle 1,220890\cdot 10^{28}e\mathrm {V} }$
Forza di Planck	Forza ${\displaystyle \left[M\right]\left[L\right]\left[T\right]^{-2}}$	${\displaystyle F_{\text{P}}=m_{\text{P}}a_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}c}{t_{\text{P}}}}={\frac {c^{4}}{4\pi G}}}$	${\displaystyle {{F}_{\text{P}}}={\frac {{E}_{\text{P}}}{{l}_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{{{l}_{\text{P}}}{{t}_{\text{P}}}}}={\frac {{c}^{4}}{G}}}$	${\displaystyle 9,630908\cdot 10^{42}\;\mathrm {N} }$	${\displaystyle 1,210256\cdot 10^{44}\;\mathrm {N} }$
Potenza di Planck	Potenza ${\displaystyle \left[M\right]\left[L\right]^{2}\left[T\right]^{-3}}$	${\displaystyle P_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{5}}{4\pi G}}}$	${\displaystyle P_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\frac {c^{5}}{G}}}$	${\displaystyle 2,887274\cdot 10^{51}\;\mathrm {W} }$	${\displaystyle 3,628255\cdot 10^{52}\;\mathrm {W} }$
Intensità radiante di Planck	Intensità angolare ${\displaystyle \left[L\right]^{2}\left[M\right]\left[T\right]^{-3}}$	${\displaystyle {\frac {P_{\text{P}}}{\theta _{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{5}}{4\pi G}}}$	${\displaystyle \iota _{\text{P}}={\frac {P_{\text{P}}}{\theta _{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{5}}{G}}}$	${\displaystyle 2,887274\cdot 10^{51}\;{\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {sr} }}}$	${\displaystyle 3,628255\cdot 10^{52}\;{\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {sr} }}}$
Intensità di Planck	Intensità ${\displaystyle \left[M\right]\left[T\right]^{-3}}$	${\displaystyle i_{\text{P}}={\frac {P_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{8}}{16\pi ^{2}\hbar G^{2}}}}$	${\displaystyle i_{\text{P}}=\rho _{\text{P}}^{E}c={\frac {P_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{8}}{\hbar G^{2}}}}$	${\displaystyle 8,795455\cdot 10^{119}\;{\frac {\mathrm {W} }{m^{2}}}}$	${\displaystyle 1,388923\cdot 10^{122}\;{\frac {\mathrm {W} }{m^{2}}}}$
Densità di Planck	Densità ${\displaystyle \left[M\right]\left[L\right]^{-3}}$	${\displaystyle \rho _{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{3}}}={\frac {\hbar \,t_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{5}}}={\frac {c^{5}}{16\pi ^{2}\hbar G^{2}}}}$	${\displaystyle \rho _{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{3}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}}$	${\displaystyle 3,264346\cdot 10^{94}\;{\frac {kg}{m^{3}}}}$	${\displaystyle 5,154849\cdot 10^{96}\;{\frac {kg}{m^{3}}}}$
Densità energetica di Planck	Densità di energia ${\displaystyle \left[L\right]^{-1}\left[M\right]\left[T\right]^{-2}}$	${\displaystyle u_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{3}}}={\frac {c^{7}}{16\pi ^{2}\hbar G^{2}}}}$	${\displaystyle u_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{3}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}}$	${\displaystyle 2,933848\cdot 10^{111}\;{\frac {\mathrm {J} }{m^{3}}}}$	${\displaystyle 4,632947\cdot 10^{113}\;{\frac {\mathrm {J} }{m^{3}}}}$
Frequenza angolare di Planck	Frequenza ${\displaystyle \left[T\right]^{-1}}$	${\displaystyle \omega _{\text{P}}={\frac {\theta _{P}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{4\pi \hbar G}}}}$	${\displaystyle \omega _{P}={\frac {\theta _{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}\;}$	${\displaystyle 5,232458\cdot 10^{42}{\frac {\mathrm {rad} }{s}}}$	${\displaystyle 1,854858\cdot 10^{43}{\frac {\mathrm {rad} }{s}}}$
Accelerazione angolare di Planck	Accelerazione angolare ${\displaystyle \left[T\right]^{-2}}$	${\displaystyle {\frac {\omega _{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}=t_{\text{P}}^{-2}={\frac {c^{5}}{4\pi \hbar G}}}$	${\displaystyle {\frac {\omega _{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}=t_{\text{P}}^{-2}={\frac {c^{5}}{\hbar G}}}$	${\displaystyle 2,737862\cdot 10^{85}\;{\frac {\mathrm {rad} }{s^{2}}}}$	${\displaystyle 3,440498\cdot 10^{86}\;{\frac {\mathrm {rad} }{s^{2}}}}$
Accelerazione di Planck	Accelerazione ${\displaystyle \left[L\right]\left[T\right]^{-2}}$	${\displaystyle a_{\text{P}}={\frac {v_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{7}}{4\pi \hbar G}}}}$	${\displaystyle a_{\text{P}}={\frac {c}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{7}}{\hbar G}}}}$	${\displaystyle 1,568652\cdot 10^{51}\;{\frac {m}{s^{2}}}}$	${\displaystyle 5,560726\cdot 10^{51}\;{\frac {m}{s^{2}}}}$
Momento inerziale di Planck	Momento di inerzia ${\displaystyle \left[L\right]^{2}\left[M\right]}$	${\displaystyle m_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}={\sqrt {\frac {4\pi \hbar ^{3}G}{c^{5}}}}}$	${\displaystyle m_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}={\sqrt {\frac {\hbar ^{3}G}{c^{5}}}}}$	${\displaystyle 2,01544\cdot 10^{-77}kg\cdot m^{2}}$	${\displaystyle 5,68546\cdot 10^{-78}kg\cdot m^{2}}$
Momento angolare di Planck	Momento angolare ${\displaystyle \left[L\right]^{2}\left[M\right]\left[T\right]^{-1}}$	${\displaystyle \hbar _{\text{P}}=m_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}\omega _{\text{P}}=l_{\text{P}}m_{\text{P}}c=E_{\text{P}}t_{\text{P}}=\hbar }$		${\displaystyle 1.054571817\ldots \cdot 10^{-34}\;\mathrm {J} s}$
Coppia di Planck	Torque ${\displaystyle \left[L\right]^{2}\left[M\right]\left[T\right]^{-2}}$	${\displaystyle \tau _{\text{P}}=F_{\text{P}}l_{\text{P}}={\frac {\hbar _{P}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{4\pi G}}}}$	${\displaystyle \tau _{\text{P}}=F_{\text{P}}l_{\text{P}}={\frac {\hbar _{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}$	${\displaystyle 5,518004\cdot 10^{8}\mathrm {N} \cdot m}$	${\displaystyle 1,956081\cdot 10^{9}\mathrm {N} \cdot m}$
Pressione di Planck	Pressione ${\displaystyle \left[M\right]\left[L\right]^{-1}\left[T\right]^{-2}}$	${\displaystyle p_{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}^{3}t_{\text{P}}}}={\frac {c^{7}}{16\pi ^{2}\hbar G^{2}}}}$	${\displaystyle p_{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}\;}$	${\displaystyle 2,933848\cdot 10^{111}\mathrm {Pa} }$	${\displaystyle 4,632947\cdot 10^{113}\mathrm {Pa} }$
Tensione superficiale di Planck	Tensione superficiale ${\displaystyle \left[M\right]\left[T\right]^{-2}}$	${\displaystyle {\frac {F_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{11}}{64\pi ^{3}\hbar G^{3}}}}}$	${\displaystyle {\frac {F_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{11}}{\hbar G^{3}}}}}$	${\displaystyle 1,680941\cdot 10^{77}{\frac {\mathrm {N} }{m}}}$	${\displaystyle 7,488024\cdot 10^{78}{\frac {\mathrm {N} }{m}}}$
Forza superficiale universale di Planck	Forza superficiale universale ${\displaystyle \left[L\right]^{-1}\left[M\right]\left[T\right]^{-2}}$	${\displaystyle p_{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{7}}{16\pi ^{2}\hbar G^{2}}}}$	${\displaystyle p_{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}}$	${\displaystyle 2,933848\cdot 10^{111}\mathrm {Pa} }$	${\displaystyle 4,632947\cdot 10^{113}\mathrm {Pa} }$
Durezza di indentazione di Planck	Durezza di indentazione ${\displaystyle \left[L\right]^{-1}\left[M\right]\left[T\right]^{-2}}$	${\displaystyle p_{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{7}}{16\pi ^{2}\hbar G^{2}}}}$	${\displaystyle p_{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}}$	${\displaystyle 2,933848\cdot 10^{111}\mathrm {Pa} }$	${\displaystyle 4,632947\cdot 10^{113}\mathrm {Pa} }$
Durezza assoluta di Planck	Durezza Assoluta ${\displaystyle \left[L\right]^{-1}\left[M\right]\left[T\right]^{-2}}$	${\displaystyle {\frac {a_{\oplus }}{F_{\text{P}}}}={\frac {_{9,80665}\,4\pi G}{c^{4}}}}$	${\displaystyle {\frac {a_{\oplus }}{F_{\text{P}}}}={\frac {_{9,80665}G}{c^{4}}}}$	${\displaystyle 1,01825\cdot 10^{-42}kg\cdot f}$	${\displaystyle 8,10296\cdot 10^{-44}kg\cdot f}$
Flusso di massa di Planck	Rapporto di flusso di massa ${\displaystyle \left[M\right]\left[T\right]^{-1}}$	${\displaystyle {t_{r}}_{\text{s}}^{-1}={\frac {m_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\frac {c}{2\pi r_{s}}}={\frac {c^{3}}{4\pi G}}}$	${\displaystyle {t_{r}}_{\text{s}}^{-1}={\frac {m_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\frac {2c}{r_{s}}}={\frac {c^{3}}{G}}}$	${\displaystyle 3,212525\cdot 10^{34}\;{\frac {kg}{s}}}$	${\displaystyle 4,036978\cdot 10^{35}\;{\frac {kg}{s}}}$
Viscosità di Planck	viscosità dinamica ${\displaystyle \left[L\right]^{-1}\left[M\right]\left[T\right]^{-1}}$	${\displaystyle \eta _{\text{P}}=P_{\text{P}}t_{\text{P}}={\sqrt {\frac {c^{9}}{64\pi ^{3}\hbar G^{3}}}}}$	${\displaystyle \eta _{\text{P}}=P_{\text{P}}t_{\text{P}}={\sqrt {\frac {c^{9}}{\hbar G^{3}}}}}$	${\displaystyle 5,607015\cdot 10^{68}\mathrm {Pa} \cdot s}$	${\displaystyle 2,497736\cdot 10^{70}\mathrm {Pa} \cdot s}$
Viscosità cinematica di Planck	viscosità cinematica ${\displaystyle \left[L\right]^{2}\left[T\right]^{-1}}$	${\displaystyle {\frac {\eta _{\text{P}}}{\rho _{\text{P}}}}={\frac {l_{\text{P}}^{2}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {4\pi \hbar G}{c}}}}$	${\displaystyle {\frac {\eta _{\text{P}}}{\rho _{\text{P}}}}={\frac {l_{\text{P}}^{2}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c}}}}$	${\displaystyle 1,717653\cdot 10^{-27}{\frac {m^{2}}{s}}}$	${\displaystyle 4,845411\cdot 10^{-27}{\frac {m^{2}}{s}}}$
Portata volumetrica di Planck	Rapporto di flusso volumetrico ${\displaystyle \left[L\right]^{3}\left[T\right]^{-1}}$	${\displaystyle Q_{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}^{3}}{t_{\text{P}}}}=l_{\text{P}}^{2}v_{\text{P}}={\frac {4\pi \hbar G}{c^{2}}}}$	${\displaystyle Q_{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}^{3}}{t_{\text{P}}}}=l_{\text{P}}^{2}v_{\text{P}}={\frac {\hbar \,G}{c^{2}}}}$	${\displaystyle 9,841252\cdot 10^{-61}\;{\frac {m^{3}}{s}}}$	${\displaystyle 7,831419\cdot 10^{-62}\;{\frac {m^{3}}{s}}}$
Proprietà elettromagnetiche
Corrente di Planck	Corrente elettrica ${\displaystyle \left[Q\right]\left[T\right]^{-1}}$	${\displaystyle I_{\text{P}}={\frac {q_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}c^{6}}{4\pi G}}}}$	${\displaystyle I_{\text{P}}={\frac {q_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {4\pi \varepsilon _{0}c^{6}}{G}}}}$	${\displaystyle 2,768399\cdot 10^{24}\;\mathrm {A} }$	${\displaystyle 3,478873\cdot 10^{25}\;\mathrm {A} }$
Forza magnetomotiva di Planck	Corrente elettrica ${\displaystyle \left[Q\right]\left[T\right]^{-1}}$	${\displaystyle I_{\text{P}}={\frac {q_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}c^{6}}{4\pi G}}}}$	${\displaystyle I_{\text{P}}={\frac {q_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {4\pi \varepsilon _{0}c^{6}}{G}}}}$	${\displaystyle 2,768399\cdot 10^{24}\;\mathrm {A} }$	${\displaystyle 3,478873\cdot 10^{25}\;\mathrm {A} }$
Tensione di Planck	Tensione ${\displaystyle \left[M\right]\left[L\right]^{2}\left[T\right]^{-2}\left[Q\right]^{-1}}$	${\displaystyle V_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{q_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{4\pi \varepsilon _{0}G}}}}$		${\displaystyle 1,042940\cdot 10^{27}\;\mathrm {V} }$
Forza elettromotiva di Planck	Tensione ${\displaystyle \left[M\right]\left[L\right]^{2}\left[T\right]^{-2}\left[Q\right]^{-1}}$	${\displaystyle \phi _{\text{P}}=V_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{q_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{4\pi \varepsilon _{0}G}}}}$		${\displaystyle 1.042\;940\cdot 10^{27}\;\mathrm {V} }$
Resistenza di Planck	Resistenza elettrica ${\displaystyle \left[M\right]\left[L\right]^{2}\left[T\right]^{-1}\left[Q\right]^{-2}}$	${\displaystyle Z_{\text{P}}={\frac {V_{\text{P}}}{I_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{q_{\text{P}}^{2}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}c}}=\mu _{0}c=Z_{0}}$	${\displaystyle Z_{\text{P}}={\frac {V_{\text{P}}}{I_{\text{P}}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}}$	${\displaystyle 376,730\;\Omega }$	${\displaystyle 29,9792458\;\Omega }$
Conduttanza di Planck	Conduttanza elettrica ${\displaystyle \left[L\right]^{-2}\left[M\right]^{-1}\left[T\right]\left[Q\right]^{2}}$	${\displaystyle G_{\text{P}}={\frac {1}{R_{\text{P}}}}=\varepsilon _{0}c={\frac {1}{Z_{0}}}}$	${\displaystyle G_{\text{P}}={\frac {1}{R_{\text{P}}}}=4\pi \varepsilon _{0}c={\frac {4\pi }{Z_{0}}}}$	${\displaystyle 0,002654\;\mathrm {S} }$	${\displaystyle 0,0333564095\;\mathrm {S} }$
Capacità elettrica di Planck	Capacità elettrica ${\displaystyle \left[L\right]^{-2}\left[M\right]^{-1}\left[T\right]^{2}\left[Q\right]^{2}}$	${\displaystyle {{C}_{\text{P}}}={\frac {{q}_{\text{P}}}{{V}_{\text{P}}}}={\frac {{l}_{P}}{{k}_{e}}}={\sqrt {\frac {4{\pi }\varepsilon _{0}^{2}\hbar G}{{c}^{3}}}}}$	${\displaystyle {{C}_{\text{P}}}={\frac {{q}_{\text{P}}}{{V}_{\text{P}}}}={\frac {{l}_{P}}{{k}_{e}}}={\sqrt {\frac {16{{\pi }^{2}}\varepsilon _{0}^{2}\hbar G}{{c}^{3}}}}}$	${\displaystyle 5,072985\cdot 10^{-46}\;\mathrm {F} }$	${\displaystyle 1,798326\cdot 10^{-45}\;\mathrm {F} }$
Permittività di Planck (Costante elettrica)	Permittività elettrica ${\displaystyle \left[L\right]^{-3}\left[M\right]^{-1}\left[T\right]^{2}\left[Q\right]^{2}}$	${\displaystyle \varepsilon _{\text{P}}={\frac {C_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\frac {q_{\text{P}}}{V_{\text{P}}l_{\text{P}}}}={\frac {F_{\text{P}}}{V_{\text{P}}^{2}}}=\varepsilon _{0}}$	${\displaystyle \varepsilon _{\text{P}}={\frac {C_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\frac {F_{\text{P}}}{V_{\text{P}}^{2}}}={\frac {1}{k_{\text{e}}}}=4\pi \varepsilon _{0}}$	${\displaystyle 8,854187813\cdot 10^{-12}{\frac {\mathrm {F} }{m}}}$	${\displaystyle 1,11265006\cdot 10^{-10}{\frac {\mathrm {F} }{m}}}$
Permeabilità di Planck (Costante magnetica)	Permeabilità magnetica ${\displaystyle \left[L\right]\left[M\right]\left[Q\right]^{-2}}$	${\displaystyle \mu _{\text{P}}={\frac {L_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\frac {{\phi }_{\text{P}}^{B}}{l_{\text{P}}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}=\mu _{0}}$	${\displaystyle \mu _{\text{P}}={\frac {L_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\frac {V_{\text{P}}}{{I_{m}}_{\text{P}}}}={\frac {1}{4\pi \,\varepsilon _{0}c^{2}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}}$	${\displaystyle 1,25663706212{\frac {\mathrm {\mu H} }{m}}}$	${\displaystyle 10,0000000055{\frac {\mathrm {\mu H} }{m}}}$
Induttanza elettrica di Planck	Induttanza ${\displaystyle \left[L\right]^{2}\left[M\right]\left[Q\right]^{-2}}$	${\displaystyle L_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{I_{\text{P}}}}={\frac {m_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}}{q_{\text{P}}^{2}}}={\sqrt {\frac {4\pi \hbar G}{\varepsilon _{0}^{2}c^{7}}}}}$	${\displaystyle L_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{I_{\text{P}}^{2}}}={\frac {m_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}}{q_{\text{P}}^{2}}}={\sqrt {\frac {G\hbar }{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}^{2}c^{7}}}}}$	${\displaystyle 7,199871\cdot 10^{-41}\mathrm {H} }$	${\displaystyle 1,61625518\cdot 10^{-42}\mathrm {H} }$
Resistività elettrica di Planck	Resistività elettrica ${\displaystyle \left[L\right]^{3}\left[M\right]\left[T\right]^{-1}\left[Q\right]^{-2}}$	${\displaystyle Z_{\text{P}}^{\rho }=Z_{\text{P}}l_{\text{P}}=t_{\text{P}}k_{\text{e}}={\sqrt {\frac {4\pi \hbar G}{\varepsilon _{0}^{2}c^{5}}}}}$	${\displaystyle Z_{\text{P}}^{\rho }=Z_{\text{P}}l_{\text{P}}=t_{\text{P}}k_{\text{e}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}^{2}c^{5}}}}}$	${\displaystyle 2,15847\cdot 10^{-32}\Omega \cdot m}$	${\displaystyle 4,84541\cdot 10^{-34}\Omega \cdot m}$
Conduttività elettrica di Planck	Conduttività elettrica ${\displaystyle \left[L\right]^{-3}\left[M\right]^{-1}\left[T\right]\left[Q\right]^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{\text{P}}={\frac {1}{Z_{\text{P}}^{\rho }}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}^{2}c^{5}}{4\pi \hbar G}}}}$	${\displaystyle \sigma _{\text{P}}={\frac {1}{Z_{\text{P}}^{\rho }}}={\sqrt {\frac {16\pi ^{2}\varepsilon _{0}^{2}c^{5}}{\hbar G}}}}$	${\displaystyle 4,632918\cdot 10^{31}{\frac {\mathrm {S} }{m}}}$	${\displaystyle 2,063809\cdot 10^{33}{\frac {\mathrm {S} }{m}}}$
Densità di carica di Planck	Densità di carica ${\displaystyle \left[L\right]^{-3}\left[Q\right]}$	${\displaystyle {\rho _{e}}_{\text{P}}={\frac {q_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{3}}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}c^{10}}{64\pi ^{3}\hbar ^{2}G^{3}}}}}$	${\displaystyle {\rho _{e}}_{\text{P}}={\frac {q_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{3}}}={\sqrt {\frac {4\pi \varepsilon _{0}c^{10}}{\hbar ^{2}G^{3}}}}}$	${\displaystyle 2,813056\cdot 10^{86}{\frac {\mathrm {C} }{m^{3}}}}$	${\displaystyle 4,442200\cdot 10^{86}{\frac {\mathrm {C} }{m^{3}}}}$
Forza del campo elettrico di Planck	Campo elettrico ${\displaystyle \left[L\right]\left[M\right]\left[T\right]^{-2}\left[Q\right]^{-1}}$	${\displaystyle {\bf {E}}_{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{q_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{7}}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}\hbar G^{2}}}}}$	${\displaystyle {\bf {E}}_{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{q_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{7}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar G^{2}}}}}$	${\displaystyle 1,820306\cdot 10^{61}{\frac {\mathrm {V} }{m}}}$	${\displaystyle 6,452817\cdot 10^{61}{\frac {\mathrm {V} }{m}}}$
Forza del campo magnetico di Planck	Campo magnetico ${\displaystyle \left[L\right]^{-1}\left[T\right]^{-1}\left[Q\right]}$	${\displaystyle {\bf {H}}_{\text{P}}={\frac {I_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}c^{9}}{16\pi ^{2}\hbar G^{2}}}}}$	${\displaystyle {\bf {H}}_{\text{P}}={\frac {I_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {4\pi \varepsilon _{0}c^{9}}{\hbar G^{2}}}}}$	${\displaystyle 4,831855\cdot 10^{58}{\frac {\mathrm {A} }{m}}}$	${\displaystyle 2,152428\cdot 10^{60}{\frac {\mathrm {A} }{m}}}$
Induzione elettrica di Planck	Corrente di spostamento ${\displaystyle \left[L\right]^{-2}\left[T\right]^{-1}\left[Q\right]}$	${\displaystyle {\bf {D}}_{\text{P}}={\frac {q_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}c^{7}}{16\pi ^{2}\hbar G^{2}}}}}$	${\displaystyle {\bf {D}}_{\text{P}}={\frac {q_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\sqrt {\frac {4\pi \varepsilon _{0}c^{7}}{\hbar G^{2}}}}}$	${\displaystyle 1,611733\cdot 10^{50}{\frac {\mathrm {C} }{m^{2}}}}$	${\displaystyle 7,179727\cdot 10^{51}{\frac {\mathrm {C} }{m^{2}}}}$
Induzione magnetica di Planck	Campo magnetico ${\displaystyle \left[M\right]\left[T\right]^{-1}\left[Q\right]^{-1}}$	${\displaystyle {\bf {B}}_{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{l_{\text{P}}I_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}\hbar G^{2}}}}}$	${\displaystyle {\bf {B}}_{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{l_{\text{P}}I_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{q_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar G^{2}}}}}$	${\displaystyle 6,071888\cdot 10^{52}\;\mathrm {T} }$	${\displaystyle 2,152428\cdot 10^{53}\;\mathrm {T} }$
Flusso elettrico di Planck	Flusso magnetico ${\displaystyle \left[L\right]^{2}\left[M\right]\left[T\right]^{-1}\left[Q\right]^{-1}}$	${\displaystyle {\phi }_{\text{P}}^{E}={\bf {E}}_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}=\phi _{\text{P}}l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{\varepsilon _{0}}}}}$	${\displaystyle {\phi }_{\text{P}}^{E}={\bf {E}}_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}=\phi _{\text{P}}l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{4\pi \varepsilon _{0}}}}}$	${\displaystyle 5,975498\cdot 10^{-8}\mathrm {V} \cdot m}$	${\displaystyle 1,685657\cdot 10^{-8}\mathrm {V} \cdot m}$
Flusso magnetico di Planck	Flusso magnetico