Teorema di Cauchy (analisi matematica)

Il teorema degli incrementi finiti di Cauchy è una generalizzazione del teorema di Lagrange.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Siano ${\displaystyle f,g:[a,b]\to \mathbb {R} }$ due funzioni reali di variabile reale continue in ${\displaystyle [a,b]}$ e derivabili in ${\displaystyle (a,b)}$.

Allora esiste almeno un punto ${\displaystyle c\in (a,b)}$ tale che

${\displaystyle [g(b)-g(a)]f^{\prime }(c)=[f(b)-f(a)]g^{\prime }(c).}$^[1]

Si noti che se ${\displaystyle g'(c)\neq 0}$ (e dunque in particolare ${\displaystyle g(b)\neq g(a)}$), l'equazione si può scrivere nella forma equivalente

${\displaystyle {\frac {f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.}$

Dimostrazione del teorema[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri la funzione ${\displaystyle h}$ di variabile reale definita nell'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ come

${\displaystyle h(t)=[f(b)-f(a)]g(t)-[g(b)-g(a)]f(t)\quad }$

Questa funzione è continua nell'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ e derivabile in ${\displaystyle (a,b)}$, e

${\displaystyle h(a)=[f(b)-f(a)]g(a)-[g(b)-g(a)]f(a)=f(b)g(a)-f(a)g(a)-f(a)g(b)+f(a)g(a)=f(b)g(a)-f(a)g(b).}$

${\displaystyle h(b)=[f(b)-f(a)]g(b)-[g(b)-g(a)]f(b)=f(b)g(b)-f(a)g(b)-f(b)g(b)+f(b)g(a)=-f(a)g(b)+f(b)g(a).}$

Da cui ${\displaystyle h(a)=h(b)}$.

La funzione ${\displaystyle h}$ soddisfa quindi le ipotesi del teorema di Rolle, per cui esiste un punto ${\displaystyle c\in (a,b)}$ in cui ${\displaystyle h'(c)=0}$, cioè

${\displaystyle [f(b)-f(a)]g'(c)-[g(b)-g(a)]f'(c)=0.}$

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

• Considerando in particolare la funzione ${\displaystyle g(t)=t}$, si ottiene l'affermazione del teorema di Lagrange.
• Il teorema di Cauchy può essere utilizzato per dimostrare la regola di De L'Hôpital.

Note[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

• Paolo Marcellini, Carlo Sbordone Analisi Matematica Uno, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2819-2, 1998, paragrafo 67.
• Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

• Derivata
• Teorema di Rolle
• Teorema di Lagrange

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Cauchy, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Extended mean-value theorem e proof of extended mean-value theorem su PlanetMath

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea (1ª specie · 2ª specie) e di superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica