Tempo proprio

In fisica, la durata di un fenomeno misurata in un sistema di riferimento solidale al fenomeno si chiama intervallo di tempo proprio o, in breve, tempo proprio. È dunque indipendente dalle coordinate ed è uno scalare di Lorentz, ossia invariante per trasformazioni di Lorentz.

Il concetto, introdotto nel 1908 da Hermann Minkowski^[1], è l’analogo spaziotemporale della lunghezza di un arco nello spazio euclideo tridimensionale. Esso consente di parametrizzare il tempo misurato da un osservatore fermo rispetto ad un altro osservatore in moto ed è informalmente definito come il tempo trascorso tra due eventi misurato da un orologio che passa attraverso entrambi.

La necessità di utilizzare questa grandezza è sorta in seguito alla teoria della relatività ristretta, in cui la misura di un intervallo temporale in un sistema di riferimento in quiete è minore della stessa misura compiuta a sistema incipiente, ovvero in un sistema di riferimento in accelerazione (dilatazione del tempo).

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Relatività ristretta[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri un orologio che si muove con velocità costante e un sistema di riferimento cartesiano inerziale solidale con esso. Rispetto ad un secondo sistema di riferimento a riposo, in un tempo ${\displaystyle dt}$ l'orologio compie un percorso la cui lunghezza è data da ${\displaystyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}}$, dove ${\displaystyle dx}$, ${\displaystyle dy}$ e ${\displaystyle dz}$ sono variazioni infinitesime della posizione dell'orologio nel sistema fermo. Poiché in relatività speciale l'intervallo spazio-temporale che resta invariato tra due sistemi in moto relativo uniforme è dato da:

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=c^{2}d\tau ^{2}}$

dove ${\displaystyle d\tau }$ è l'intervallo temporale nel sistema in moto, l'intervallo di tempo misurato dall'orologio in moto è dato dall'integrale di ${\displaystyle ds/c}$ lungo la sua linea di universo. Tale integrale è massimo se la linea di universo interessata è una retta. Dalla precedente relazione si ricava:

${\displaystyle d\tau =dt{\sqrt {1-{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{c^{2}dt^{2}}}}}=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

dove:

${\displaystyle v^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}}$

è la velocità del sistema in moto. Si ha pertanto:

${\displaystyle d\tau ={\frac {ds}{c}}=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\qquad {\tau }_{2}-{\tau }_{1}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Il tempo proprio ${\displaystyle \tau }$ misurato dall'orologio in moto è definito per una velocità arbitraria nel seguente modo:^[2]

${\displaystyle \tau =\int {\frac {dt}{\gamma }}=\int {\sqrt {1-{\frac {v(t)^{2}}{c^{2}}}}}\,dt=\int {\sqrt {1-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right]}}\,dt}$

dove ${\displaystyle v(t)}$ è la velocità al tempo ${\displaystyle t}$, mentre ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle z}$ sono le coordinate spaziali.

Se il tempo e le coordinate spaziali sono parametrizzate da ${\displaystyle \lambda }$, si può scrivere:

${\displaystyle \tau =\int {\sqrt {\left({\frac {dt}{d\lambda }}\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{d\lambda }}\right)^{2}\right]}}\,d\lambda }$

In forma differenziale tale espressione diventa un integrale di linea:

${\displaystyle \tau =\int _{P}{\sqrt {dt^{2}-{dx^{2} \over c^{2}}-{dy^{2} \over c^{2}}-{dz^{2} \over c^{2}}}}}$

dove ${\displaystyle P}$ è il cammino seguito dall'orologio nel sistema di riferimento.

La quantità ${\displaystyle ds=cd\tau }$ è così invariante in seguito ad una trasformazione di Lorentz. Una grandezza che si conserva in tal modo è detta invariante di Lorentz, e l'insieme di trasformazioni che lasciano invariato ${\displaystyle ds^{2}}$ è il gruppo di Lorentz.^[3]

Relatività generale[modifica | modifica wikitesto]

La teoria della relatività generale consente di generalizzare i risultati della relatività ristretta utilizzando il formalismo tensoriale. Si consideri uno spaziotempo descritto da una varietà pseudo-riemanniana, caratterizzata da un tensore metrico ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$, nella quale è definito un sistema di coordinate ${\displaystyle x^{\mu }}$. L'intervallo ${\displaystyle ds}$ tra due eventi distanti ${\displaystyle dx^{\mu }}$ è dato da:

${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}$

dove ${\displaystyle s}$ può essere di genere spazio, di genere luce o di genere tempo a seconda che ${\displaystyle s^{2}}$ sia rispettivamente minore, uguale o maggiore di zero. Nel primo caso l'intervallo non può essere attraversato poiché richiederebbe una velocità superiore alla velocità della luce ${\displaystyle c}$, nel secondo caso la velocità necessaria è esattamente ${\displaystyle c}$ e la conversione al tempo proprio è banale, nel terzo caso è consentito l'attraversamento di oggetti massivi. Considerando la radice quadrata di entrambi i membri dell'elemento di linea si ha che il tempo proprio ${\displaystyle \tau }$ misurato dall'orologio in moto lungo un cammino di genere tempo ${\displaystyle P}$ è dato dall'integrale di linea:

${\displaystyle \tau =\int _{P}\,d\tau }$

dove:

${\displaystyle d\tau ={\sqrt {dx_{\mu }\;dx^{\mu }}}={\sqrt {g_{\mu \nu }\;dx^{\mu }\;dx^{\nu }}}}$

in cui si è usata la notazione di Einstein.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Lo stesso argomento in dettaglio: Quadrivelocità.

Nello spaziotempo di Minkowski l'evoluzione delle coordinate spaziali di un oggetto nel tempo è descritta da una curva, che è parametrizzata dal tempo proprio. La quadrivelocità è il vettore che ha per componenti la variazione delle coordinate spaziali e temporali rispetto al tempo proprio. Inoltre, la sua norma è solitamente posta uguale alla velocità della luce c, e cambia solo la direzione.

In meccanica classica la traiettoria di un oggetto è descritta in tre dimensioni dalle sue coordinate ${\displaystyle x^{i}(t)}$, con ${\displaystyle i\in \{1,2,3\}}$, espresse in funzione del tempo ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle \mathbf {x} =x^{i}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\\\end{bmatrix}}}$

dove ${\displaystyle x^{i}(t)}$ è l'i-esima componente della posizione al tempo ${\displaystyle t}$. Le componenti della velocità ${\displaystyle {\mathbf {u} }}$ nel punto ${\displaystyle p}$ tangente alla traiettoria sono:

${\displaystyle {\mathbf {u} }=(u^{1},u^{2},u^{3})={\mathrm {d} \mathbf {x} \over \mathrm {d} t}={\mathrm {d} x^{i} \over \mathrm {d} t}=\left({\frac {\mathrm {d} x^{1}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x^{2}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x^{3}}{\mathrm {d} t}}\right)}$

dove le derivate sono valutate in ${\displaystyle p}$.

Nello spaziotempo di Minkowski le coordinate sono ${\displaystyle x^{\mu }(\tau )}$, con ${\displaystyle \mu \in \{0,1,2,3\}}$, in cui ${\displaystyle x^{0}}$ è la componente temporale moltiplicata per c. La parametrizzazione avviene inoltre in funzione del tempo proprio ${\displaystyle \tau }$:

${\displaystyle x^{\mu }(\tau )={\begin{bmatrix}x^{0}(\tau )\\x^{1}(\tau )\\x^{2}(\tau )\\x^{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ct\\x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\\\end{bmatrix}}}$

Considerando il fenomeno detto dilatazione dei tempi:

${\displaystyle t=\gamma \tau \,}$

la quadrivelocità relativa a ${\displaystyle \mathbf {x} (\tau )}$ è definita come:

${\displaystyle U^{\mu }={\frac {\mathrm {d} x^{\mu }(\tau )}{\mathrm {d} \tau }}}$

Note[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

• (EN) Albert Einstein, Relativity: The Special and the General Theory, New York, Three Rivers Press, 1995, ISBN 0-517-88441-0.
• (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
• Callender, Craig & Edney, Ralph, Introducing Time, Icon, 2001, ISBN 1-84046-592-1.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

• Contrazione delle lunghezze
• Dilatazione del tempo
• Elettrodinamica
• Fattore di Lorentz
• Gruppo di Lorentz
• Spaziotempo di Minkowski
• Teoria della relatività
• Trasformazione di Lorentz

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

• (EN) Testo della teoria della relatività di Einstein, su bartleby.com.
• (EN) Progetto Beyond Einstein della NASA, su universe.nasa.gov.
• NIST Two way time transfer for satellites, su tf.nist.gov. URL consultato il 3 ottobre 2008 (archiviato dall'url originale il 29 maggio 2017).
• Time Dilation Demonstration Applet, su walter-fendt.de. URL consultato il 3 ottobre 2008 (archiviato dall'url originale il 19 dicembre 2008).
• UK National Physical Laboratory reports replication of Hefele-Keating experiment (PDF), su npl.co.uk. URL consultato il 3 ottobre 2008 (archiviato dall'url originale il 30 ottobre 2008).

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