Spazio funzionale

In matematica, uno spazio funzionale o spazio di funzioni è un insieme di funzioni che può essere uno spazio topologico o uno spazio vettoriale o entrambi.

Gli spazi funzionali sono presenti in varie aree della matematica:

• nella teoria degli insiemi, l'insieme delle parti di un insieme ${\displaystyle X}$ può essere identificato con l'insieme di tutte le funzioni da ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle \{0,1\}}$. Più generalmente, l'insieme delle funzioni ${\displaystyle X\to Y}$ è indicato con ${\displaystyle Y^{X}}$.
• in algebra lineare l'insieme di tutte le trasformazioni lineari da uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ ad un altro ${\displaystyle W}$, sullo stesso campo, è anch'esso uno spazio vettoriale.
• in analisi funzionale si vede la stessa cosa per trasformazioni lineari continue. Gli esempi più importanti sono gli spazi di Hilbert e gli spazi di Banach.
• in analisi funzionale l'insieme di tutte le funzioni dai numeri naturali a un altro insieme ${\displaystyle X}$ è chiamato spazio delle successioni. Esso consiste in tutte le possibili successioni di elementi di ${\displaystyle X}$.
• in topologia, si può definire la topologia dello spazio delle funzioni continue definite su uno spazio topologico a valori in un altro spazio topologico, detta topologia operatoriale.
• nella topologia algebrica, la teoria dell'omotopia.
• nella teoria dei processi stocastici, uno dei principali problemi è come costruire una misura di probabilità su uno spazio di funzioni.
• nella teoria delle categorie uno spazio di funzioni è un oggetto esponenziale.
• nel lambda calcolo.
• nella teoria dei domini.

L'analisi funzionale è uno degli ambiti in cui gli spazi di funzioni sono maggiormente studiati. In questo settore vi sono diversi metodi per trattare questi spazi come spazi vettoriali topologici. Tra i principali vi sono:

• lo spazio di Schwartz e il suo duale, quello delle distribuzioni temperate.
• lo spazio L^p
• Spazio ${\displaystyle \kappa (\mathbb {R} )}$ delle funzioni continue a supporto compatto con la topologia uniforme.
• lo spazio ${\displaystyle B(\mathbb {R} )}$ degli operatori limitati.
• lo spazio ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$ delle funzioni continue che si annullano all'infinito.
• lo spazio ${\displaystyle C^{r}(\mathbb {R} )}$ delle funzioni continue che hanno le prime r derivate continue.
• lo spazio ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ delle funzioni lisce
• lo spazio ${\displaystyle C_{c}^{\infty }}$ delle funzioni lisce a supporto compatto.
• lo spazio di Sobolev ${\displaystyle W^{k,p}}$
• lo spazio ${\displaystyle O_{U}}$ delle funzioni olomorfe
• lo spazio di Hardy
• lo spazio di Hölder
• lo spazio di Càdlàg

• (EN) Kolmogorov, A. N., & Fomin, S. V. (1967). Elements of the theory of functions and functional analysis. Courier Dover Publications.
• (EN) Stein, Elias; Shakarchi, R. (2011). Functional Analysis: An Introduction to Further Topics in Analysis. Princeton University Press.

• Spazio delle successioni
• Spazio vettoriale topologico
• Topologia operatoriale

• (EN) Eric W. Weisstein, Spazio funzionale, su MathWorld, Wolfram Research.

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