Lemma di Gauss (teoria dei numeri)

In teoria dei numeri, il lemma di Gauss, che ha preso il nome da Carl Friedrich Gauss, è un teorema utilizzato in alcune dimostrazioni della reciprocità quadratica.

Per ogni primo dispari ${\displaystyle p}$, sia ${\displaystyle a}$ un intero coprimo con ${\displaystyle p}$. Si considerino gli interi:

${\displaystyle a,2a,3a,\ldots ,{\frac {p-1}{2}}a}$

e i loro residui modulo ${\displaystyle p}$ ridotti nell'intervallo ${\displaystyle \left[-{\frac {p}{2}},{\frac {p}{2}}\right]}$. Sia ${\displaystyle s}$ il numero di questi residui che sono negativi. Allora:

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{s},}$

dove ${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)}$ è il simbolo di Legendre. Da un punto di vista piuttosto sofisticato, ciò rappresenta un caso di trasferimento.

Per il criterio di Eulero si sa che

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=a^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}}$

moltiplicando entrambi i membri per il fattoriale di ${\displaystyle {\frac {p-1}{2}}}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {p-1}{2}}\right)!=\prod _{n=1}^{\frac {p-1}{2}}an{\pmod {p}}}$

consideriamo adesso i residui di ${\displaystyle an}$ ridotti nell'intervallo ${\displaystyle \left[-{\frac {p}{2}},{\frac {p}{2}}\right]}$. Allora:

• non ci sono due residui uguali; infatti se

${\displaystyle ak_{1}=ak_{2}{\pmod {p}}}$

allora ${\displaystyle p|k_{1}-k_{2}}$, ed essendo ${\displaystyle k_{1},k_{2}<p}$, ciò e possibile solo se ${\displaystyle k_{1}=k_{2}}$

• non ci sono due residui opposti; infatti se

${\displaystyle ak_{1}=-ak_{2}{\pmod {p}}}$

allora ${\displaystyle p|k_{1}+k_{2}}$ ma essendo ${\displaystyle k_{1},k_{2}<{\frac {p}{2}}}$ ciò è impossibile.

Di conseguenza i valori assoluti dei residui ${\displaystyle an}$ sono tutti diversi e nell'intervallo ${\displaystyle \left[1,{\frac {p-1}{2}}\right]}$, dunque per il prodotto di detti residui vale

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\frac {p-1}{2}}an=\left({\frac {p-1}{2}}\right)!\left(-1\right)^{s}{\pmod {p}}}$

dove ${\displaystyle s}$ è il numero dei residui negativi, quindi

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {p-1}{2}}\right)!=\left({\frac {p-1}{2}}\right)!\left(-1\right)^{s}{\pmod {p}}}$

e semplificando per il fattoriale di ${\displaystyle {\frac {p-1}{2}}}$ si ottiene la tesi:

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\left(-1\right)^{s}}$

• Harold Davenport, Aritmetica superiore, Bologna, Zanichelli, 1994, ISBN 88-08-09154-6.
• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, New York, Springer-Verlag, 1976, ISBN 0-387-90163-9.
• Trygve Nagell, Introduction to number theory, 2ª ed., New York, Chelsea, 2001, ISBN 0-8218-2833-9.

• Criterio di Eulero
• Reciprocità quadratica
• Simbolo di Legendre

• (EN) Gauss's Lemma - La pagina di MathWorld sul lemma di Gauss.

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica