Attrattore di Lorenz

L'attrattore di Lorenz fu il primo esempio di un sistema di equazioni differenziali a bassa dimensionalità in grado di generare un comportamento caotico. Venne scoperto da Edward N. Lorenz, del Massachusetts Institute of Technology, nel 1963.

Descrizione[modifica | modifica wikitesto]

Semplificando le equazioni del moto alle derivate parziali che descrivono il movimento termico di convezione di un fluido, Lorenz ottenne un sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}&=\sigma (y-x)\\{\dot {y}}&=\rho x-xz-y\\{\dot {z}}&=xy-\beta z\end{cases}}}$

dove: ${\displaystyle \sigma }$ è il numero di Prandtl e ${\displaystyle \rho }$ è il numero di Rayleigh. ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle \rho }$ e ${\displaystyle \beta }$ sono maggiori di 0, ma nella maggior parte dei casi ${\displaystyle \sigma =10}$ e ${\displaystyle \beta ={\frac {8}{3}}}$, mentre ${\displaystyle \rho }$ è variabile.

Sebbene le equazioni, a causa del forte troncamento, descrivano bene il fenomeno di convezione solo per ${\displaystyle \rho \approx 1}$, esse vengono utilizzate come modello a bassa dimensione per un comportamento caotico, portando il parametro ${\displaystyle \rho }$ dell'equazione completamente fuori dall'appropriato regime fisico. Volendo però ottenere un modello più fedele per ${\displaystyle \rho \neq 1}$, bisognerà utilizzare le equazioni nella loro forma non approssimata:

${\displaystyle {\frac {\partial (\nabla ^{2}\psi )}{\partial t}}={\frac {\partial \psi }{\partial z}}{\frac {\partial (\nabla ^{2}\psi )}{\partial x}}-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial (\nabla ^{2}\psi )}{\partial t}}+\nu \nabla ^{2}(\nabla ^{2}\psi )+g\alpha {\frac {\partial \theta }{\partial x}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \theta }{\partial t}}&=-{\frac {\partial \theta }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}+{\frac {\partial \theta }{\partial z}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+k\nabla ^{2}\theta +{\frac {\Delta T}{H}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\\&={\frac {\partial \psi }{\partial x}}\left({\frac {\partial \theta }{\partial z}}+{\frac {\Delta T}{H}}\right)-{\frac {\partial \theta }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}+k\nabla ^{2}\theta \\\end{aligned}}}$

dove ${\displaystyle g}$ è l'accelerazione di gravità, ${\displaystyle \alpha }$ il coefficiente di dilatazione termica, ${\displaystyle \nu }$ la viscosità cinematica, ${\displaystyle \kappa }$ la conducibilità termica, ${\displaystyle \theta }$ la temperatura, e ${\displaystyle \Psi }$ la funzione di corrente. Le componenti della velocità ${\displaystyle \mathbf {u} =(u,v)}$ sono quindi definiti come ${\displaystyle u={\partial \Psi \over \partial z},w=-{\partial \Psi \over \partial x}}$ .

Oggetti geometrici di questo tipo, rappresentativi del moto di un sistema caotico nello spazio delle fasi, vengono detti attrattori strani.

L'attrattore del sistema di Lorenz ha dimensione frattale e ha dimensione di Lyapunov uguale a 2,06.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

• Edward Norton Lorenz, Deterministic Nonperiodic Flow, in J. Atmos. Sci., vol. 20, 1963, pp. 130-141.

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sull'attrattore di Lorenz

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

• (EN) Eric W. Weisstein, Attrattore di Lorenz, su MathWorld, Wolfram Research.

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