p-Laplacien — Wikipédia

En mathématiques, le p-Laplacien, ou l'opérateur de p-Laplace, est un opérateur différentiel partiel elliptique quasi-linéaire du second ordre. C'est une généralisation non linéaire de l'opérateur laplacien, où p, usuellement fixé à 2, est autorisé à s'étendre sur ${\displaystyle 1<p<\infty }$. Il s'écrit comme

${\displaystyle \Delta _{p}u:=\nabla \cdot (|\nabla u|^{p-2}\nabla u).}$

où le ${\displaystyle |\nabla u|^{p-2}}$ est défini par :

${\displaystyle \quad |\nabla u|^{p-2}=\left[\left({\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}\right)^{2}\right]^{\frac {p-2}{2}}}$

Dans le cas particulier où ${\displaystyle p=2}$, cet opérateur se réduit au laplacien classique^[1]. En général, les solutions d'équations impliquant le p-Laplacien n'ont pas de dérivées du second ordre au sens classique, donc les solutions à ces équations doivent être comprises comme des solutions faibles. Par exemple, on dit qu'une fonction u appartenant à l'espace de Sobolev ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ est une solution faible de

${\displaystyle \Delta _{p}u=0{\mbox{ dans }}\Omega }$

si pour chaque fonction test ${\displaystyle \varphi \in C_{0}^{\infty }(\Omega )}$ on a

${\displaystyle \int _{\Omega }|\nabla u|^{p-2}\nabla u\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=0}$

où ${\displaystyle \cdot }$ désigne le produit scalaire standard.

Opérateur[modifier | modifier le code]

L'opérateur p-laplacien pour une fonction u définie sur un espace de dimension n s'écrit :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{p}u=\nabla \cdot (|\nabla u|^{p-2}\nabla u)&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}\right)^{2}\right]^{\frac {p-2}{2}}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\\&=|\nabla u|^{p-4}\left(|\nabla u|^{2}\Delta u+(p-2)\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right).\end{aligned}}}$

Les solutions sont appelées fonctions p-harmoniques.

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

p = 1

L'opérateur 1-laplacien est l'opposé de l'opérateur de courbure moyenne :

${\displaystyle \Delta _{1}u=\operatorname {div} \left({\frac {\nabla u}{|\nabla u|^{1}}}\right)=-H}$

p = 2

L'opérateur 2-laplacien est le laplacien classique :

${\displaystyle \Delta _{2}u=\Delta u=\operatorname {div} (\nabla u)}$

p = n

L'opérateur n-laplacien est un cas particulier, car il est invariant par toute transformation de Möbius. En effet, la norme ${\textstyle \int |\nabla u|^{n}}$ est invariant par toute transformation conforme.

Ce cas est important dans l'étude des transformations quasi conformes.

p infini

L'équation de ∞-Laplace se réduit à^[2]:

${\displaystyle \Delta _{\infty }u=\nabla u\cdot \left[(Hu)\nabla u\right]=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}$

ou Hu désigne la matrice hessienne de u. Cette équation a des applications en traitement d'images.

Formulation variationnelle[modifier | modifier le code]

La solution faible de l'équation de p-Laplace avec une condition aux limites de Dirichlet

${\displaystyle {\begin{cases}-\Delta _{p}u=f&{\mbox{ dans }}\Omega \\u=g&{\mbox{ sur }}\partial \Omega \end{cases}}}$

dans un domaine ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{N}}$ est celle qui minimise la fonctionnelle énergie

${\displaystyle J(u)={\frac {1}{p}}\,\int _{\Omega }|\nabla u|^{p}\,dx-\int _{\Omega }f\,u\,\mathrm {d} x}$

parmi toutes les fonctions de l'espace de Sobolev ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ satisfaisant les conditions aux limites au sens de la trace^[1]. Dans le cas particulier ${\displaystyle f=1,g=0}$ et ${\displaystyle \Omega }$ est une boule de rayon 1, la solution faible du problème ci-dessus peut être explicitement calculée et est donnée par

${\displaystyle u(x)=C\,\left(1-|x|^{\frac {p}{p-1}}\right)}$

où ${\displaystyle C}$ est une constante appropriée dépendant uniquement de la dimension ${\displaystyle N}$ et de ${\displaystyle p}$. On remarque que pour ${\displaystyle p>2}$ la solution n'est pas deux fois dérivable au sens classique.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

• Fonction trigonométrique généralisée

Notes[modifier | modifier le code]

Sources[modifier | modifier le code]

• Lawrence C. Evans, « A New Proof of Local ${\displaystyle C^{1,\alpha }}$ Regularity for Solutions of Certain Degenerate Elliptic P.D.E. », Journal of Differential Equations, vol. 45,‎ 1982, p. 356–373 (DOI 10.1016/0022-0396(82)90033-x , MR 672713)
• John L. Lewis, « Capacitary functions in convex rings », Archive for Rational Mechanics and Analysis, vol. 66, n^o 3,‎ 1977, p. 201–224 (DOI 10.1007/bf00250671, Bibcode 1977ArRMA..66..201L, MR 0477094, S2CID 120469946)

Références[modifier | modifier le code]

• (en) Olga Aleksandrovna Ladyzhenskaya, Vsevold Solonnikov et Nina Uralt'seva, Linear and quasi-linear equations of parabolic type, vol. 23, Providence, RI, American Mathematical Society, coll. « Translations of Mathematical Monographs », 1968, XI+648 (ISBN 9780821886533, MR 0241821, zbMATH 0174.15403, lire en ligne).
• (en) K. Uhlenbeck, « Regularity for a class of non-linear elliptic systems », Acta Mathematica, vol. 138,‎ 1977, p. 219–240 (DOI 10.1007/bf02392316 , MR 0474389)
• (en) Peter Lindqvist, Notes on the p-Laplace equation (second edition) (lire en ligne)
• Juan Manfredi, Strong comparison Principle for p-harmonic functions

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