Nombre de Bell — Wikipédia

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En mathématiques, le n-ième nombre de Bell (du nom de Eric Temple Bell) est le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments distincts^[1] ou, ce qui revient au même, le nombre de relations d'équivalence sur un tel ensemble.

Premières propriétés[modifier | modifier le code]

• Ces nombres forment la suite d'entiers  A000110 de l'OEIS, dont on peut calculer à la main les premiers termes :${\displaystyle B_{0}=1,\quad B_{1}=1,\quad B_{2}=2,\quad B_{3}=5,\quad B_{4}=15,\quad B_{5}=52,\quad B_{6}=203,\quad B_{7}=877,\quad \ldots }$Le premier vaut 1 car il existe exactement une partition de l'ensemble vide : la partition vide, formée d'aucune partie. En effet, ses éléments (puisqu'il n'y en a aucun) sont bien non vides et disjoints deux à deux, et de réunion vide.
• Les ${\displaystyle B_{3}=5}$ partitions de ${\displaystyle \{a,b,c\}}$ sont ${\displaystyle \{\{a\},\{b\},\{c\}\}}$, ${\displaystyle \{\{a,b,c\}\}}$, et les trois partitions du type ${\displaystyle \{\{a\},\{b,c\}\}}$.
• Les nombres de Bell peuvent aussi se calculer de proche en proche par la relation de récurrence suivante, parfois nommée « relation d'Aitken »^[2] et en fait due au mathématicien japonais du XVIII^e siècle Yoshisuke Matsunaga^[3]:${\displaystyle B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k},}$qui peut se démontrer ainsi :
  Ayant fixé un élément x dans un ensemble à n + 1 éléments, on trie les partitions suivant le nombre k d'éléments hors de la partie contenant x.
  Pour chaque valeur de k de 0 à n, il faut donc choisir k éléments parmi les n éléments différents de x, puis s'en donner une partition.
• Les sept plus petits nombres de Bell premiers sont B₂ = 2, B₃ = 5, B₇ = 877, B₁₃ = 27 644 437, B₄₂ = 35 742 549 198 872 617 291 353 508 656 626 642 567, B₅₅ = 359 334 085 968 622 831 041 960 188 598 043 661 065 388 726 959 079 837 et B₂₈₄₁ (cf. suites  A051131 et  A051130 de l'OEIS). On ignore s'il en existe d'autres.

Série génératrice[modifier | modifier le code]

Pour manipuler tous les nombres de Bell, on peut s'intéresser aux séries génératrice et génératrice exponentielle associées, qui sont respectivement :

${\displaystyle G(X)=\sum _{n}B_{n}X^{n}{\text{ et }}E(X)=\sum _{n}{\frac {B_{n}}{n!}}X^{n}=1+X+2{\frac {X^{2}}{2!}}+5{\frac {X^{3}}{3!}}+15{\frac {X^{4}}{4!}}+\ldots }$

La première est par exemple^[4] utilisée pour étudier les classes de congruence des ${\displaystyle B_{n}}$. Quant à la seconde série formelle, elle satisfait l'équation différentielle ${\displaystyle E'(X)=\mathrm {e} ^{X}E(X)}$ : on le constate en écrivant la formule de récurrence sous la forme

${\displaystyle {\frac {B_{n+1}}{n!}}=\sum _{k+l=n}{\frac {1}{k!}}{\frac {B_{l}}{l!}}~.}$

On en déduit qu'elle est égale à ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{X}}}$ à une constante multiplicative près (qu'on trouve par identification du terme constant) :

${\displaystyle E(X)=\mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{X}-1}.}$

L'identification des coefficients conduit à la formule de Dobinski :

${\displaystyle B_{n}={\frac {1}{\mathrm {e} }}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}}$

qui est le moment d'ordre n d'une loi de Poisson de paramètre 1.

D'autres propriétés[modifier | modifier le code]

Ils satisfont également à la congruence de Touchard : si p est un nombre premier quelconque alors

${\displaystyle B_{p+n}\equiv B_{n}+B_{n+1}\mod p.}$

Chaque nombre de Bell est une somme des nombres de Stirling de seconde espèce :

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}.}$

Plusieurs formules asymptotiques pour les nombres de Bell sont connues ; l'une d'elles est

${\displaystyle B_{n}\sim {\frac {1}{\sqrt {n}}}\left[{\frac {n}{W(n)}}\right]^{n+{\frac {1}{2}}}e^{{\frac {n}{W(n)}}-n-1},}$

où W est la fonction W de Lambert ; on obtient une approximation moins précise, mais plus commode d'emploi, à l'aide de l'encadrement ${\displaystyle \ln x-\ln \ln x<W(x)<\ln x}$ ; on pourra également remarquer la similitude de l'approximation précédente avec la formule de Stirling^[5].

Voir aussi[modifier | modifier le code]

• Les nombres de Bell ordonnés, qui dénombrent les partitions ordonnées.
• Le triangle de Bell, qui permet d'obtenir simplement les nombres de Bell
• Les nombres de Stirling de seconde espèce qui dénombrent les partitions d'un ensemble à ${\displaystyle n}$ éléments en ${\displaystyle k}$ sous-ensembles.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

• Donald Knuth, The Art of Computer Programming : History of Combinatorial Generation, vol. 4, fasc. 3, Addison Wesley, 2010

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