Mandelbulb — Wikipédia

Un Mandelbulb résulte de la tentative de créer un ensemble de Mandelbrot en trois dimensions, sans être une fractale comme ce dernier^[1],[2]. La possibilité d'obtenir un ensemble de Mandelbrot en trois dimensions reste incertaine^[1].

L'idée de sa réalisation occupe les esprits depuis 2007, mais fin 2009, Daniel White et Paul Nylander ont construit un Mandelbulb, un analogue en dimension 3 de l'ensemble de Mandelbrot, à l'aide d'une algèbre de nombres hypercomplexes et de transformations écrites en coordonnées sphériques. White et Nylander donnent la formule suivante :

${\displaystyle \langle x,y,z\rangle ^{n}=r^{n}\langle \cos(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\phi )\rangle }$

où

${\displaystyle {\begin{cases}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arctan(y/x)\\{\rm {et\ }}\phi &=\arctan(z/{\sqrt {x^{2}+y^{2}}})=\arcsin(z/r)\end{cases}}}$

pour la n^ième puissance du nombre hypercomplexe 3D. Ils utilisent alors, de même que pour le plan de l'ensemble de Mandelbrot, les domaines de convergences des suites obtenues par itération de ${\displaystyle z\mapsto z^{n}+c}$ où z et c sont des nombres hypercomplexes dans un espace de dimension 3 et

${\displaystyle z\mapsto z^{n}}$ l'application définie ci-dessus^[3]

Le Mandelbulb est ensuite défini comme l'ensemble des c en ℝ³ pour lesquels l'orbite de ${\displaystyle \langle 0,0,0\rangle }$ sous l'itération ${\displaystyle {\mathbf {v} }\mapsto {\mathbf {v} }^{n}+{\mathbf {c} }}$ est bornée^[4]. Pour n > 3, le résultat est une structure en forme de bulbe tridimensionnelle avec une surface fractale et un certain nombre de "lobes" dépendants de n. La plupart des rendus graphiques utilisent n = 8. Néanmoins, l'équation peut être simplifiée en polynômes rationnels lorsque n est impair. Par exemple, dans le cas de n = 3, la troisième puissance peut être simplifiée en une forme plus élégante :

${\displaystyle \langle x,y,z\rangle ^{3}=\left\langle \ {\frac {(3z^{2}-x^{2}-y^{2})x(x^{2}-3y^{2})}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {(3z^{2}-x^{2}-y^{2})y(3x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}},z(z^{2}-3x^{2}-3y^{2})\right\rangle }$.

Formule quadratique[modifier | modifier le code]

D'autres formules viennent d'identités qui prennent comme paramètre la somme de carrés pour donner une puissance de la somme de carré comme :

${\displaystyle (x^{2}-y^{2}-z^{2})^{2}+(2xz)^{2}+(2xy)^{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}$

On peut voir cela comme une manière d'élever au carré un trio de nombres pour que le module soit élevé au carré. Cela donne, par exemple :

${\displaystyle x\rightarrow x^{2}-y^{2}-z^{2}+x_{0}}$

${\displaystyle y\rightarrow 2xz+y_{0}}$

${\displaystyle z\rightarrow 2xy+z_{0}}$

ou d'autre permutations variées. Cette formule 'quadratique' peut être appliquée plusieurs fois pour obtenir plusieurs formules de puissance 2.

Formule cubique[modifier | modifier le code]

D'autre formules viennent d'identités qui prennent comme paramètre la somme de carrés pour donner une puissance de la somme de carré comme :

${\displaystyle (x^{3}-3xy^{2}-3xz^{2})^{2}+(y^{3}-3yx^{2}+yz^{2})^{2}+(z^{3}-3zx^{2}+zy^{2})^{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}}$

On peut voir cela comme une manière d'élever au cube un trio de nombres pour que le module soit élevé au cube. Cela donne, par exemple :

${\displaystyle x\rightarrow x^{3}-3x(y^{2}+z^{2})+x_{0}}$

ou d'autre permutations, par exemple :

${\displaystyle y\rightarrow -y^{3}+3yx^{2}-yz^{2}+y_{0}}$

${\displaystyle z\rightarrow z^{3}-3zx^{2}+zy^{2}+z_{0}}$

Cela réduit la formule à la fractale complexe ${\displaystyle w\rightarrow w^{3}+w_{0}}$ lorsque z=0 et ${\displaystyle w\rightarrow {\overline {w}}^{3}+w_{0}}$ lorsque y=0.

Il y a plusieurs manières de combiner deux transformations cubiques comme celles-ci pour obtenir une transformation de puissance 9 qui a une structure plus volumineuse.

Formule quintique[modifier | modifier le code]

Une autre manière de créer des Mandelbulbs de symétrie cubique est en prenant la formule d'itération complexe ${\displaystyle z\rightarrow z^{4m+1}+z_{0}}$ pour un entier m et ajouter les termes pour rendre la structure symétrique en 3 dimensions mais en gardant la section transversale la même fractale bidimensionnelle (le 4 vient du fait que ${\displaystyle i^{4}=1}$). Par exemple, prenons le cas de ${\displaystyle z\rightarrow z^{5}+z_{0}}$. En deux dimensions où ${\displaystyle z=x+iy}$, c'est :

${\displaystyle x\rightarrow x^{5}-10x^{3}y^{2}+5xy^{4}+x_{0}}$

${\displaystyle y\rightarrow y^{5}-10y^{3}x^{2}+5yx^{4}+y_{0}}$

Cela peut être prolongé à trois dimensions pour donner :

${\displaystyle x\rightarrow x^{5}-10x^{3}(y^{2}+Ayz+z^{2})+5x(y^{4}+By^{3}z+Cy^{2}z^{2}+Byz^{3}+z^{4})+Dx^{2}yz(y+z)+x_{0}}$

${\displaystyle y\rightarrow y^{5}-10y^{3}(z^{2}+Axz+x^{2})+5y(z^{4}+Bz^{3}x+Cz^{2}x^{2}+Bzx^{3}+x^{4})+Dy^{2}zx(z+x)+y_{0}}$

${\displaystyle z\rightarrow z^{5}-10z^{3}(x^{2}+Axy+y^{2})+5z(x^{4}+Bx^{3}y+Cx^{2}y^{2}+Bxy^{3}+y^{4})+Dz^{2}xy(x+y)+z_{0}}$

pour les constantes arbitraires A,B,C et D (la plupart du temps fixée à 0) qui donnent différents Mandelbulbs. Le cas de ${\displaystyle z\rightarrow z^{9}}$ donne un Mandelbulb assez similaire au premier exemple où n=9. Un résultat plus plaisant pour la cinquième puissance est obtenu en basant la fractale sur la formule : ${\displaystyle z\rightarrow -z^{5}+z_{0}}$.

Formule de puissance neuf[modifier | modifier le code]

Cette fractale a des sections transversales de la fractale de Mandelbrot de puissance 9. Elle a 32 petits bulbes émergeant de la sphère principale. Il est défini par, par exemple :

${\displaystyle x\rightarrow x^{9}-36x^{7}(y^{2}+z^{2})+126x^{5}(y^{2}+z^{2})^{2}-84x^{3}(y^{2}+z^{2})^{3}+9x(y^{2}+z^{2})^{4}+x_{0}}$

${\displaystyle y\rightarrow y^{9}-36y^{7}(z^{2}+x^{2})+126y^{5}(z^{2}+x^{2})^{2}-84y^{3}(z^{2}+x^{2})^{3}+9y(z^{2}+x^{2})^{4}+y_{0}}$

${\displaystyle z\rightarrow z^{9}-36z^{7}(x^{2}+y^{2})+126z^{5}(x^{2}+y^{2})^{2}-84z^{3}(x^{2}+y^{2})^{3}+9z(x^{2}+y^{2})^{4}+z_{0}}$

Ces formules peuvent être écrites de manière plus simple :

${\displaystyle x\rightarrow {\frac {1}{2}}(x+i{\sqrt {y^{2}+z^{2}}})^{9}+{\frac {1}{2}}(x-i{\sqrt {y^{2}+z^{2}}})^{9}+x_{0}}$

et également pour les autres coordonnées.

Formule sphérique[modifier | modifier le code]

Une formule sphérique parfaite peut être définie par la formule :

${\displaystyle (x,y,z)\rightarrow (f(x,y,z)+x_{0},g(x,y,z)+y_{0},h(x,y,z)+z_{0})}$

où

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{n}=f(x,y,z)^{2}+g(x,y,z)^{2}+h(x,y,z)^{2}}$

où f, g et g sont des nièmes puissances de trinômes rationnels et n est un entier. La fractale cubique ci-dessus en est un exemple.

Dans la culture populaire[modifier | modifier le code]

• Dans le film Disney Les Nouveaux Héros, l'apogée émotionnelle du film prend place au milieu d'un trou de ver, qui est représenté par l'intérieur stylisé d'un Mandelbulb^[5].

• À la fin du film Annihilation (2018), la forme de vie d'origine extraterrestre se matérialise enfin sous une forme nébuleuse très proche d'une structure de type Mandelbulb.

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

• Mandelbox
• Liste de fractales

Liens externes[modifier | modifier le code]

• Mandelbulb.com site consacré au Mandelbulb et à l'art graphique s'y rattachant
• Article de Jos Leys, sur le site "Image des mathématiques" (CNRS).
• Quelques explications complémentaires, par Jos Leys
• L'article original de Daniel White
• Un Mandelbulb, en haute définition
• Principales variantes du Mandelbulb, sur le site de Paul Nylander
• Vidéo : Aperçu d'un Mandelbulb
• Logiciel libre permettant, entre autres, la génération de Mandelbulb : Mandelbulber
• Logiciel libre permettant, entre autres, la génération de Mandelbulb : Mandelbulb3D
• Logiciel libre permettant, entre autres, la génération de Mandelbulb : Fragmentarium
• Logiciel non-libre permettant, entre autres, la génération de Mandelbulb ainsi que l'exportation vers modèle 3D classique OBJ : Quasz

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