Glossaire de la géométrie riemannienne — Wikipédia

La géométrie riemannienne est un domaine des mathématiques étudiant les propriétés des variétés riemanniennes. Cette page liste ou rappelle brièvement les définitions des termes récurrents rencontrés.

A[modifier | modifier le code]

• Application conforme : Entre deux variétés riemanniennes, application qui préserve les angles ; de manière équivalente application qui transporte une métrique en une métrique conforme ;
• Application exponentielle : Application différentiable ${\displaystyle TM\rightarrow M}$ définie naturellement pour toute variété riemannienne complète. Si ${\displaystyle v_{m}\in T_{m}M}$ est un vecteur tangent à la variété en m, la géodésique d'origine m et de vitesse initiale ${\displaystyle v_{m}}$ est donnée par ${\displaystyle t\mapsto exp(tv_{m})}$ .

C[modifier | modifier le code]

• Centre de masse
• Cercle osculateur
• Champ de Jacobi
• Champ de Killing
• Classe de Chern
• Convexité
• Courbure bisectionnelle
• Courbure de Gauss
• Courbure négative
• Courbure de Ricci
• Courbure sectionnelle
• Croissance d'un groupe
• Cut-locus d'un point m d'une variété riemannienne : Ensemble (négligeable) de points n pour lesquels il n'y a pas unicité de la géodésique minimisante ;

E[modifier | modifier le code]

• Espace homogène : Variété sur laquelle agit transitivement un groupe de Lie.
• Espace symétrique : Variété riemannienne pour laquelle la symétrie géodésique par rapport à n'importe quel point

est une isométrie globale.

F[modifier | modifier le code]

• Feuilletage riemannien : Feuilletage muni d'une métrique riemannienne transverse;
• Fibré normal : pour une sous-variété N d'une variété riemannienne M, fibré vectoriel sur N dont la fibre en x est l'orthogonal à T_xN ;
• Fibré riemannien : Fibré vectoriel muni d'une métrique riemannienne ;
• Flot géodésique : Flot différentiable sur l'espace tangent ou cotangent d'une variété riemannienne, ou sur le fibré en sphères correspondant, défini par la dynamique des géodésiques ;
• Fonction de Busemann : Fonction continue définie sur un espace (variété riemannienne ou espace métrique) à courbure négative bornée intervenant dans la compactification ; les fonctions de Buseman forment la sphère à l'infini ;
• Forme harmonique : Forme différentielle dont le laplacien est nul ;
• Forme de Kähler :
• Formule des traces de Selberg :

G[modifier | modifier le code]

• Géodésique : Courbe minimisant localement la distance sur une variété riemannienne ;
• Géodésique fermée : Géodésique périodique ;
• Géométrie euclidienne : géométrie d'un espace euclidien ;
• Géométrie riemannienne : Géométrie d'une variété riemannienne ;
• Groupe hyperbolique

H[modifier | modifier le code]

• Holonomie
• Horosphère

I[modifier | modifier le code]

• Identités de Bianchi : Identité remarquable portant sur la courbure de la connexion de Levi-Civita ;
• Inégalité de Bishop-Gromov : Estimation sur le volume des boules d'une variété riemannienne suivant des estimations sur la courbure de Ricci ;
• Inégalité isopérimétrique : Toute inégalité donnant une majoration du volume riemannien enfermé par une hypsersurface en fonction du volume de cette dernière ;
• Involution : Isométrie sur une variété riemannienne fixant un point et dont la différentielle en ce point est -Id ;^{[réf. nécessaire]}
• Isométrie : Entre deux variétés riemanniennes, application différentiable et bijective envoyant métrique riemannienne sur métrique riemannienne ; ou de manière équivalente, application bijective préservant les distances associées;

L[modifier | modifier le code]

• Laplacien : Opérateur différentiel défini sur toute variété riemannienne ;

M[modifier | modifier le code]

• Métrique de Carnot-Carathéodory
• métrique riemannienne : Collection de formes bilinéaires symétriques définies positives définies sur les espaces tangents d'une variété, avec une certaine régularité dépendant du contexte ;
• Mouvement brownien ou processus de Wiener, est une description mathématique du mouvement aléatoire d'une « grosse » particule ;
• Métrique d'Einstein : métrique riemannienne pour laquelle la courbure de Ricci est proportionnelle à la métrique.

N[modifier | modifier le code]

• Nombre de Betti : Dimensions des espaces de cohomologie de De Rham ;

P[modifier | modifier le code]

• Plongement riemannien : Plongement préservant la métrique riemannienne.
• Problème de Dirichlet

Q[modifier | modifier le code]

• Quasi-isométrie : Applications (pas nécessairement continue) entre variétés riemanniennes ou entre espaces métriques qui ne dilatent pas excessivement les distances.

R[modifier | modifier le code]

• Rayon de convexité
• Rayon d'injectivité : plus grand rayon tel que l'application exponentielle restreinte aux boules tangentes correspondantes

soit un difféomorphisme sur son image ;

• Revêtement riemannien : Revêtement d'une variété riemannienne muni de la métrique tirée en arrière ;
• Rigidité de Mostow : sous sa version la plus simple, le théorème de rigidité de Mostow assure qu'à partir de la dimension

3, deux variétés riemanniennes compactes à courbure constante négative qui sont difféomorphes sont aussi isométrique.

S[modifier | modifier le code]

• Spectre du laplacien
• Spineur
• Symbole de Christoffel : Symboles permettant d'exprimer dans des cartes locales la connexion de Levi-Civita ;
• Systole (mathématiques)

T[modifier | modifier le code]

• Théorème d'Abresch-Meyer
• Théorème de Bishop
• Théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers
• Théorème de Brunn-Minkowski
• Théorème de Cartan-Hadamard : théorème affirmant que le revêtement universel d'une variété riemannienne complète de courbure non positive est difféomorphe à une boule
• Théorème de comparaison de Toponogov
• Théorème de Gauss-Bonnet
• Théorème de Hopf-Rinow
• Théorème KAM
• Théorème de Myers : estimation sur le diamètre d'une variété riemannienne complète en courbure de Ricci strictement positive
• Totalement géodésique : se dit d'une sous-variété N d'une variété riemannienne qui contient toute géodésique issue d'un des points de N et dirigée par un vecteur tangent à N
• Transport parallèle

V[modifier | modifier le code]

• Variété de Hadamard : Variété riemannienne complète simplement connexe de courbure strictement négative.
• Variété hyperbolique
• Variété kählérienne
• Variété lorentzienne
• Variété pseudo-riemannienne
• Variété riemannienne
• Volume riemannien : forme volume définie sur toute variété riemannannienne orientée valant 1 sur toute base tangente orthonormée orientée ; ou mesure positive associée ;

Autres lexiques mathématiques[modifier | modifier le code]

• Glossaire de topologie
• Lexique de la géométrie symplectique
• Lexique des surfaces

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