Gradient — Wikipédia

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En mathématiques et en physique, le gradient d'une fonction est son taux de variation selon la position (au sens large). Par exemple, en météorologie, le gradient de température est le taux de variation de la température selon l'altitude^[1] ; on le mesure en °C/hm (c.-à-d. degrés Celcius par cent mètres).

Pour une fonction ${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, le gradient de f se confond avec la dérivée de f. Pour une fonction ${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$, où n est un nombre entier ≥ 2, le gradient de f en un point est un vecteur dont la direction est celle de la variation la plus forte de f au voisinage de ce point^[2]. Cette notion est liée à celle de différentielle pour des fonctions à valeurs réelles : si f est différentiable en a, la différentielle Df(a) est une forme linéaire ; à cette forme linéaire, si l'ensemble de départ E est de dimension finie, on peut associer un vecteur qui est le gradient de f en a.

Par exemple, si une fonction ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ est différentiable au point a, alors son gradient est le vecteur, noté à l'aide de l'opérateur nabla :

${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}f(a)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}(a)\\{\frac {\partial f}{\partial y}}(a)\\{\frac {\partial f}{\partial z}}(a)\end{pmatrix}},}$

où ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(a),{\frac {\partial f}{\partial y}}(a),{\frac {\partial f}{\partial z}}(a)}$ sont les dérivées partielles de f au point a par rapport aux variables x, y, z respectivement. La variation de f au voisinage de a pour une petite variation ${\displaystyle h=(x_{h},y_{h},z_{h})}$ est :

${\displaystyle f(a+h)-f(a)\approx {\frac {\partial f}{\partial x}}(a)\ x_{h}+{\frac {\partial f}{\partial y}}(a)\ y_{h}+{\frac {\partial f}{\partial z}}(a)\ z_{h}.}$

À chaque point où f est différentiable, on peut définir un vecteur ; la famille de ces vecteurs forme un champ de vecteurs. Ce champ s'appelle aussi gradient de la fonction f et se note ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}f.}$ C'est une fonction définie sur l'ensemble ${\displaystyle U\subset E}$ des points de E où f est différentiable, et à valeurs dans E.

Le gradient permet d'approcher les fonctions de plusieurs variables par des formes linéaires. Il se révèle utile en physique, mais aussi en géométrie pour déterminer les normales aux lignes de niveaux ou aux isosurfaces.

Motivation[modifier | modifier le code]

En physique et en analyse vectorielle, le gradient est un vecteur indiquant comment une grandeur physique varie dans l'espace^[a]. Le gradient est d'une importance capitale en physique, qui l'employa avant les autres disciplines. En théorie des variations, il est aussi fondamental dans le domaine de l'optimisation ou de la résolution d'équations aux dérivées partielles.

En sciences de la Terre, le gradient est utilisé pour la variation dans toutes les directions d'un paramètre de la lithosphère, de l'hydrosphère, de l'atmosphère, ou de la biosphère. Cependant, le terme est souvent employé pour la composante dans une seule direction, comme dans le cas de la dérivée verticale d'une grandeur physique, c.-à-d. sa dérivée par rapport à la coordonnée ${\displaystyle z}$ (altitude ou profondeur). Par exemple, le gradient géothermique est la dérivée ${\displaystyle {\tfrac {\partial T}{\partial z}}}$ fois ${\displaystyle {\vec {\mathrm {k} }}}$, où ${\displaystyle T}$ est la température et ${\displaystyle {\vec {\mathrm {k} }}}$ un vecteur unitaire vertical.

Définition[modifier | modifier le code]

Dans un système de coordonnées cartésiennes, le gradient d'une fonction f différentiable au point ${\displaystyle a=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ est le vecteur noté ${\displaystyle \nabla f(a)}$ de composantes les ${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)~}$ (où i = 1, 2, ..., n)^[3], c.-à-d. les dérivées partielles de f par rapport aux coordonnées^[4],[5], au point a :

$${\displaystyle \nabla f(a)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\end{bmatrix}}.}$$

Dans un repère orthonormé, si le vecteur gradient n'est pas nul, alors il pointe dans la direction où la fonction croît le plus rapidement, et sa norme est égale au taux de croissance dans cette direction.

Les composantes du gradient de f sont les coefficients des variables dans l'équation réduite de l'espace tangent au point a au graphe de f. Cette propriété lui permet d'être défini indépendamment du choix du système de coordonnées, en tant que champ de vecteurs dont les composantes se transforment lors du passage d'un système de coordonnées à un autre.

La généralisation du gradient aux fonctions différentiables de plusieurs variables et à valeurs vectorielles (et aux applications différentiables entre espaces euclidiens) est la matrice jacobienne. La généralisation aux fonctions entre espaces de Banach est la dérivée de Fréchet.

Notations[modifier | modifier le code]

Notation vectorielle[modifier | modifier le code]

• La dérivée ou différentielle d'une fonction f en un point a est généralement notée :

f'(a) ou Df(a) ou ${\displaystyle \mathrm {D} f_{a}}$ ou ${\displaystyle \mathrm {D} _{a}f}$ ou ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{a}f}$

ou, abusivement puisqu'elle n'est pas infinitésimale :

df(a) ou ${\displaystyle \mathrm {d} f_{a}}$ ou ${\displaystyle \mathrm {d} _{a}f.}$

• Le gradient d'une fonction f en un point a est généralement noté :

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\ f(a)}$ ou ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}f(a)}$ ou ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}_{a}f}$ ou ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}_{a}f}$.

Le symbole ∇ est appelé nabla. Dans la littérature en anglais, ou parfois en français par commodité typographique, on préfère mettre en gras le symbole du gradient pour signifier son caractère vectoriel :

${\displaystyle \mathbf {grad} \ f}$ ou ∇f.

Notation tensorielle[modifier | modifier le code]

En notation tensorielle, le vecteur position ${\displaystyle {\vec {x}}}$, contravariant, s'écrit ${\displaystyle x^{n}}$ (indice ${\displaystyle n}$ en position supérieure^[b], ${\displaystyle n}$ variant de 1 au nombre de dimensions de l'espace). Le gradient ${\displaystyle {\vec {g}}}$ d'un champ scalaire ${\displaystyle f({\vec {x}})}$, écrit ${\displaystyle f(x^{n})}$ en notation tensorielle, est covariant et s'écrit donc ${\displaystyle g_{n}}$ (indice ${\displaystyle n}$ en position inférieure). La définition du gradient s'écrit alors^[6] :

${\displaystyle g_{n}={\frac {\partial f}{\partial x^{n}}}}$.

Avec la convention de sommation d'Einstein, la variation infinitésimale de ${\displaystyle f}$ s'écrit :

${\displaystyle \mathrm {d} f=g_{n}\,\mathrm {d} x^{n}}$.

Exemple : le gradient de température[modifier | modifier le code]

Le gradient de température, ou gradient thermique, est le gradient de la température en tant que fonction scalaire des coordonnées spatiales (lui est une fonction vectorielle de ces coordonnées).

Gradient dans une seule direction (dérivée)[modifier | modifier le code]

Supposons que l'on place une poutre rectiligne entre deux murs qui n'ont pas la même température, le mur de gauche étant le plus froid. On observe que, sur la poutre, la température varie dans le temps, et dans l'espace : elle augmente de la gauche vers la droite. À ce phénomène thermodynamique, on associe un phénomène de flux de chaleur, lui-même lié à un gradient de température, c.-à-d. à une variation de la température le long de la poutre (cf. Conduction thermique, Loi de Fourier).

À un instant fixé, à chaque point M de la poutre, on attribue une abscisse x ; par exemple, à l'extrémité gauche, l'abscisse x = 0, et à l'extrémité droite, l'abscisse x = L (longueur de la poutre). En chaque point M(x) de la poutre, on considère la température T(x) ; autrement dit, T est fonction de x.

Entre deux points distants d'une très petite longueur δx, on mesure un écart de température δT. Au sens usuel, le gradient (de température) est le rapport entre ces deux grandeurs :

${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {grad} }}\ T={\frac {\delta T}{\delta x}}\ {\vec {\mathrm {i} }}.}$

Au sens analytique (mathématique), on parle de gradient si ce rapport admet une limite quand δx tend vers 0, limite notée :

${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}T(x)=T'(x)\ {\vec {\mathrm {i} }}={\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} x}}(x)\ {\vec {\mathrm {i} }}.}$

On écrit la variation le long de x comme l'approximation (dite du premier ordre) :

${\displaystyle T(x+\delta x)-T(x)={\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} x}}(x)\ \delta x+o(\delta x),}$

où ${\displaystyle o(\delta x)}$ signifie que le terme qui reste est négligeable par rapport à ${\displaystyle \delta x.}$

Propriétés[modifier | modifier le code]

• Le rapport ${\displaystyle {\tfrac {\delta T}{\delta x}}}$ a un signe, qui correspond à un sens. Dans notre poutre, la température augmente de gauche à droite, donc le gradient est orienté vers la droite ; l'axe des x aussi est orienté de gauche à droite, donc ${\displaystyle {\tfrac {\delta T}{\delta x}}>0.}$
• En dimension 1, les notions de gradient et de dérivée sont équivalentes.
• En physique, la norme de ce gradient est homogène à une température divisée par une distance (mesurée en K·m⁻¹, ou plus usuellement en °C·m⁻¹).

Gradient de température dans l'espace à trois dimensions usuel[modifier | modifier le code]

En réalité, la température d'un point de la poutre varie en fonction d'un déplacement dans l'espace. On caractérise un point M de l'espace par ses coordonnées cartésiennes : M(x , y , z). « Comme » précédemment, la température est fonction des coordonnées de M : T(x , y , z).

Pour chacune de ces directions, on peut écrire une variation, dite partielle. Si, tout en étant en 3D, on ne se déplace que selon un axe, par exemple selon les ordonnées y, alors on peut réécrire la même formule que précédemment sur l'accroissement de température. Cependant, pour noter la variation, on passe par l'écriture en dérivée partielle (dite ronde) plutôt que par la dérivée unidimensionnelle (dite droite). On écrit la variation le long de y comme l'approximation (dite du premier ordre) :

${\displaystyle T(x,y+\delta y,z)-T(x,y,z)={\frac {\partial T}{\partial y}}(x,y,z)\ \delta y+o(\delta y),}$

où ${\displaystyle o(\delta y)}$ signifie que le terme qui reste est négligeable par rapport à ${\displaystyle \delta y.}$

Plus généralement, on se déplace dans l'espace d'un point M(x , y , z) à un point M'(x + δx , y + δy , z + δz), et la température passe de T(x , y , z) à T(x + δx , y + δy , z + δz). En première approximation, cette variation est une fonction linéaire de ${\displaystyle {\vec {h}}={\overrightarrow {MM'}}=\delta \ \!{\overrightarrow {\mathrm {O} M}}=(\delta x,\delta y,\delta z)}$, et s'exprime donc comme somme algébrique des variations liées à chacune des composantes de ${\displaystyle {\vec {h}}:}$

${\displaystyle T(x+\delta x,y+\delta y,z+\delta z)-T(x,y,z)={\frac {\partial T}{\partial x}}(x,y,z)\ \delta x+{\frac {\partial T}{\partial y}}(x,y,z)\ \delta y+{\frac {\partial T}{\partial z}}(x,y,z)\ \delta z+o\!\left({\big \|}{\vec {h}}{\big \|}\right),}$

où ${\displaystyle o\!\left({\big \|}{\vec {h}}{\big \|}\right)}$ signifie que le terme qui reste est négligeable par rapport à ${\displaystyle {\big \|}{\vec {h}}{\big \|}.}$

Soit ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}T(x,y,z)=\left({\frac {\partial T}{\partial x}}(x,y,z),{\frac {\partial T}{\partial y}}(x,y,z),{\frac {\partial T}{\partial z}}(x,y,z)\right)}$ le vecteur gradient de température. On peut alors réécrire la relation précédente sous la forme :

${\displaystyle T(M+{\vec {h}})-T(M)={\overrightarrow {\nabla }}T(M)\cdot {\vec {h}}+o\!\left({\big \|}{\vec {h}}{\big \|}\right),}$

où ${\displaystyle {\text{«}}\cdot {\text{»}}}$ désigne le produit scalaire usuel sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

Propriétés[modifier | modifier le code]

• Le gradient est un vecteur de même dimension que l'espace sur lequel porte la température (ici ℝ³), alors que la température est à valeurs scalaires (c.-à-d. que la température en un point est un nombre, pas un vecteur).
• La direction du (vecteur) gradient définit de nouveau la direction du plus froid au plus chaud, mais cette fois en 3D.
• La norme du gradient de température est toujours homogène à K m⁻¹.

Introduction par les éléments différentiels[modifier | modifier le code]

Comme pour la différentielle dont il est une variante, le gradient peut être introduit avec le vocabulaire des éléments différentiels. À titre d'exemple, examinons le problème de la variation de l'aire d'un rectangle.

Dans le plan (xOy), considérons un rectangle de côtés x et y. Sa surface S est égale à xy ; elle dépend donc des coordonnées du point M(x,y). En suivant une démarche intuitive, on convient de noter par dx (resp. dy) une variation infinitésimale de la variable x (resp. y). Lorsque le point M fait un déplacement infinitésimal, la surface varie de façon infinitésimale, et on peut écrire que :

${\displaystyle S+\mathrm {d} S=(x+\mathrm {d} x)(y+\mathrm {d} y)=xy+x\ \mathrm {d} y+y\ \mathrm {d} x+\mathrm {d} x\ \mathrm {d} y.}$

On en déduit facilement que :

${\displaystyle \mathrm {d} S=y\ \mathrm {d} x+x\ \mathrm {d} y+\mathrm {d} x\ \mathrm {d} y.}$

Une simple application numérique où x et y seraient des mètres et dx et dy des centimètres illustre que dx dy est négligeable par rapport aux autres grandeurs.

On peut donner un statut mathématique précis aux notations dx et dy (qui sont des formes différentielles), et à la quantité dx dy (qui est alors du second ordre). Le calcul précédent est en fait un calcul de développement limité à l'ordre 1, faisant intervenir les dérivées premières de la fonction xy par rapport à ses deux variables. En négligeant dx dy, on obtient donc :

${\displaystyle \mathrm {d} S\approx y\ \mathrm {d} x+x\ \mathrm {d} y=(y,x)\cdot (\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)=\left({\frac {\partial (xy)}{\partial x}},{\frac {\partial (xy)}{\partial y}}\right)\cdot (\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)={\overrightarrow {\nabla }}S\cdot \mathrm {d} {\overrightarrow {\mathrm {O} M}},}$

où ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}S={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\ S.}$

Bien sûr, on peut utiliser des notations un peu différentes :

${\displaystyle \mathrm {d} S\approx y\ \mathrm {d} x+x\ \mathrm {d} y=(y\ {\vec {\mathrm {i} }}+x\ {\vec {\mathrm {j} }})\cdot (\mathrm {d} x\ {\vec {\mathrm {i} }}+\mathrm {d} y\ {\vec {\mathrm {j} }})=\left({\frac {\partial (xy)}{\partial x}}{\vec {\mathrm {i} }}+{\frac {\partial (xy)}{\partial y}}{\vec {\mathrm {j} }}\right)\cdot (\mathrm {d} x\ {\vec {\mathrm {i} }}+\mathrm {d} y\ {\vec {\mathrm {j} }})={\overrightarrow {\nabla }}(xy)\cdot \mathrm {d} {\overrightarrow {\mathrm {O} M}},}$

où ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}(xy)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\ (xy).}$

L'intérêt d'introduire ces vecteurs pour exprimer la variation d'une fonction de plusieurs variables est de montrer que :

• la fonction varie le plus si le point se déplace dans la direction du vecteur gradient ;
• elle ne varie presque pas s'il se déplace dans toute direction perpendiculaire au gradient.

En effet : ${\displaystyle (y\ {\vec {\mathrm {i} }}+x\ {\vec {\mathrm {j} }})\perp (\mathrm {d} x\ {\vec {\mathrm {i} }}+\mathrm {d} y\ {\vec {\mathrm {j} }})\Longleftrightarrow y\ \mathrm {d} x+x\ \mathrm {d} y=0,}$ « c.-à-d. » ${\displaystyle \ \mathrm {d} S\approx 0.}$

En électrostatique, ceci donne les courbes de même potentiel : les « équipotentielles ».

En mathématiques pures[modifier | modifier le code]

Gradient dans un espace euclidien[modifier | modifier le code]

Contexte[modifier | modifier le code]

Soient E un espace vectoriel euclidien, U un ouvert de E, et une fonction ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$, différentiable en un point a de U. On note ${\displaystyle \mathrm {D} _{a}f}$ la différentielle en a de f ; c'est une forme linéaire sur E. On note ${\displaystyle \mathrm {D} _{a}f\left(h\right)}$ l'image par cette différentielle d'un vecteur h de E.

Existence et unicité[modifier | modifier le code]

Il existe un unique vecteur A tel que pour tout vecteur h de E, ${\displaystyle \ \mathrm {D} _{a}f\left(h\right)=\langle A\mid h\rangle }$, où ${\displaystyle \langle \cdot \mid \cdot \rangle }$ désigne le produit scalaire sur E.

Le vecteur A est appelé le gradient de f en a, et il est noté ${\displaystyle \nabla _{a}f}$. Il vérifie donc :

${\displaystyle \forall \ h\in E,\quad \langle \nabla _{a}f\mid h\rangle =\mathrm {D} _{a}f\left(h\right).}$

Développement limité[modifier | modifier le code]

Si une application ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ est différentiable en un point a, alors on peut écrire le développement limité de f du premier ordre au voisinage de a (avec la notation de Landau)^[7]:

${\displaystyle \forall \ h\in E,\quad f(a+h)=f(a)+\langle \nabla f(a)\mid h\rangle +o{\big (}\|h\|{\big )}.}$

Expression canonique : avec dérivées partielles[modifier | modifier le code]

Puisque le gradient est lui-même un vecteur de E, il est naturel qu'on cherche à l'exprimer dans une base orthonormée ${\displaystyle (\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n})}$ de cet espace vectoriel. On démontre qu'il s'exprime à l'aide des dérivées partielles sous la forme :

${\displaystyle \nabla f(a)=\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\ \mathbf {e} _{i}\right].}$

Par exemple, en dimension 3, on obtient :

${\displaystyle \nabla f(a)={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)\ \mathbf {e} _{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}(a)\ \mathbf {e} _{2}+{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}}(a)\ \mathbf {e} _{3}.}$

Une propriété fondamentale[modifier | modifier le code]

Le gradient de f désigne la direction où la pente de f est la plus grande. Précisément^[4] :

Soit un point ${\displaystyle a\in U}$ tel que f est différentiable en a et que ${\displaystyle \nabla f(a)\neq 0\ ;}$ pour tout vecteur ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$ tel que ${\displaystyle \|v\|=\|\nabla f(a)\|,}$ il existe ${\displaystyle \delta >0}$ tel que :

${\displaystyle \forall \ t\in \ \!]0,\delta [,\quad f(a+t\ \!v)\leq f{\big (}a+t\ \nabla f(a){\big )}.}$

Gradient et dérivée directionnelle[modifier | modifier le code]

Changement de base[modifier | modifier le code]

Lors d'un changement de base, au travers d'un C¹-difféomorphisme de E, l'écriture du gradient suit les règles usuelles des changements de base.

Il ne faut pas confondre changement de base pour l'expression d'une fonction écrite en notations cartésiennes (canoniques) et écriture du gradient adaptée à une notation autre. Par exemple, pour une fonction exprimée en coordonnées polaires, on calcule l'écriture « polaire » du gradient en partant d'une fonction f(r,θ) explicitée en fonction de l'abscisse polaire (r) et de l'argument (θ).

• En coordonnées cylindriques (pour les coordonnées polaires, ne pas considérer la composante en z) :

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z},}$

qu'on peut aussi noter :

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\mathbf {e} _{\phi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z},}$

tout dépend des notations utilisées. Voir :

• En coordonnées sphériques :

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\mathbf {e} _{\phi };}$

les vecteurs de type ${\displaystyle \mathbf {e} _{r}}$ sont utilisés en coordonnées polaires.

Gradient dans un espace de Hilbert[modifier | modifier le code]

Soient ${\displaystyle {\big (}H,\langle \cdot \mid \cdot \rangle {\big )}}$ un espace de Hilbert (de dimension finie ou non), U un ouvert de H, et une application ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$, différentiable en un point a de U. La différentielle Df(a) étant, par définition, une forme linéaire continue sur H, il résulte du théorème de représentation de Riesz qu'il existe un unique vecteur, noté ${\displaystyle \nabla f(a)}$, de H tel que :

${\displaystyle \forall \ h\in H,\quad \mathrm {D} f(a)\left(h\right)=\langle \nabla f(a)\mid h\rangle .}$

Le vecteur ${\displaystyle \nabla f(a)}$ est appelé le gradient de f en a.

Une propriété fondamentale[modifier | modifier le code]

On montre que si ${\displaystyle \nabla f(a)\neq 0}$, alors f croît strictement dans la direction de ${\displaystyle \nabla f(a)}$ en passant par a, c.-à-d. :

Il existe ${\displaystyle \alpha >0}$ tel que pour tous s et t de ${\displaystyle ]-\alpha ,\alpha [,}$

${\displaystyle s<t\Longrightarrow f{\big (}a+s\ \nabla f(a){\big )}<f{\big (}a+t\ \nabla f(a){\big )}.}$

Gradient dans une variété riemannienne[modifier | modifier le code]

On peut encore étendre cette définition à une fonction définie et différentiable sur une variété riemannienne (M,g). Le gradient de f en a est alors un vecteur tangent à la variété en a, défini par :

${\displaystyle \forall \ h\in \mathrm {T} _{a}M,\quad \mathrm {D} f(a)\left(h\right)=g{\big (}\nabla f(a)\mid h{\big )}.}$

Enfin, si f est un champ scalaire indépendant du système de coordonnées, c'est un tenseur d'ordre 0, et sa dérivée partielle est égale à sa dérivée covariante :

${\displaystyle (\nabla f)_{i}=\partial _{i}f=f_{,i}=f_{;i}\ .}$

En coordonnées contravariantes, on calcule le champ de vecteurs appelé gradient de f :

${\displaystyle (\nabla f)^{i}=g^{ij}~f_{;j}\ .}$

Cette formule permet, une fois établi le tenseur métrique, de calculer facilement le gradient dans tout système de coordonnées.

Propriétés géométriques en dimension 2 ou 3[modifier | modifier le code]

Classiquement, le gradient permet de définir la « normale aux courbes de niveau », ce qui se traduit en 2D et en 3D par des propriétés géométriques intéressantes. La propriété de tangence étant liée à la convexité/concavité, il est aussi intéressant de voir le lien qui existe entre gradient et convexité, toujours en 2D ou 3D.

En dimension 2 : gradient normal à une courbe en un point, droite tangente[modifier | modifier le code]

Soient une application ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ continûment différentiable, et une courbe définie par l'équation f(u) = k, où k est une constante. En un point v donné de cette courbe, si le gradient existe et s'il n'est pas nul, alors il donne la direction de la normale en v à la courbe ; la droite tangente en v à la courbe est alors orthogonale au gradient.

Application au traitement d'image

En dimension 3 : gradient normal à une surface en un point, plan tangent[modifier | modifier le code]

Soient une application ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ continûment différentiable, et une surface définie par l'équation f(u) = k, où k est une constante. En un point v donné de cette surface, si le gradient existe et s'il n'est pas nul, alors il donne la direction de la normale en v à la surface ; le plan tangent en v à la surface est alors orthogonal au gradient.

Gradient et convexité[modifier | modifier le code]

Soient ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}$ (par exemple, n = 2 ou n = 3), et une application ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ continûment différentiable. Si l'application ${\displaystyle \mathbf {\nabla } f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ est monotone (resp. strictement monotone), alors f est convexe (resp. strictement convexe), c.-à-d., en utilisant la caractérisation par les cordes :

${\displaystyle \forall (u,v)\in \left(\mathbb {R} ^{3}\right)^{2},\mathbf {\nabla } _{u}f\cdot \mathbf {\nabla } _{v}f\geq 0\Rightarrow \forall (u,v,\lambda )\in \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\times [0,1],f{\big (}\lambda u+(1-\lambda )v{\big )}\leq \lambda f(u)+(1-\lambda )f(v).}$

Cette propriété est intéressante parce qu'elle reste valable même si f n'est pas deux fois différentiable.

Si f est deux fois différentiable, le hessien est positif si et seulement si le gradient est monotone.

Cas de la dimension 1[modifier | modifier le code]

La monotonie telle que définie ci-dessus permet de définir une fonction dérivée croissante ou décroissante au sens usuel. Dans le premier cas, on parle de fonction convexe ; dans le second, de fonction concave.

Si la fonction est deux fois dérivable, la croissance de la dérivée (donc du gradient) est assurée par la positivité de la dérivée seconde (équivalent du hessien).

Relations vectorielles[modifier | modifier le code]

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En analyse vectorielle, le gradient peut être combiné à d'autres opérateurs : divergence (div), rotationnel (rot), laplacien (Δ). Soit f une fonction décrivant un champ scalaire, que l'on suppose de classe C² par rapport à chaque paramètre ; alors :

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\overrightarrow {\mathrm {grad} }}f\right)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}{\frac {\partial f}{\partial t}}\ ;}$

${\displaystyle \mathrm {div} \left({\overrightarrow {\mathrm {grad} }}f\right)=\Delta f\ ;}$

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left({\overrightarrow {\mathrm {grad} }}f\right)={\overrightarrow {0}}.}$

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

• (en) Serge Lang, Fundamentals of Differential Geometry, Springer
• (en) Barrett O'Neill, Elementary Differential Geometry, 2^e éd. révisée (ISBN 9780120887354)

Articles connexes[modifier | modifier le code]

• Nabla
• Algorithme du gradient
• Analyse vectorielle
• Dérivée directionnelle
• Gradient projeté
• Opérateur laplacien
• Théorème du gradient

v · m Analyse vectorielle
Objets d'étude	Champ de vecteurs Champ scalaire Équation aux dérivées partielles Équation de Laplace Équation de Poisson
Opérateurs	Nabla Gradient Rotationnel Rotationnel du rotationnel Divergence Laplacien scalaire Bilaplacien Laplacien vectoriel D'alembertien Advection
Théorèmes	Théorème de Green Théorème de Stokes Théorème de Helmholtz-Hodge Théorème de la divergence Théorème du gradient Théorème du rotationnel

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