Formalisme de Keldysh — Wikipédia

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Le formalisme de Keldysh (ou Schwinger-Keldysh) est une technique de perturbation diagrammatique introduite par le physicien russe L. V. Keldysh^[1] pour l'étude des phénomènes hors-équilibre dans le problème à N corps comme par exemple la théorie de la fonctionnelle de la densité dépendante du temps^[2], les équations d'Usadel dans la supraconductivité^[3], la théorie des systèmes quantiques ouverts^[4] et la physique mésoscopique^[5]. Un formalisme similaire a été introduit par Julian Schwinger^[6] et par Leo Kadanoff et Gordon Baym^[7].

Fonctions de Green hors équilibre[modifier | modifier le code]

Quatre types de fonctions de Green hors équilibre sont introduites (pour des fermions):

${\displaystyle G^{++}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})=-i\langle T\psi (x_{1},t_{1})\psi ^{\dagger }(x_{2},t_{2})\rangle }$

${\displaystyle G^{-+}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})=-i\langle \psi (x_{1},t_{1})\psi ^{\dagger }(x_{2},t_{2})\rangle =G^{>}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})}$

${\displaystyle G^{+-}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})=i\langle \psi ^{\dagger }(x_{2},t_{2})\psi (x_{1},t_{1})\rangle =G^{<}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})}$

${\displaystyle G^{--}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})=-i\langle {\tilde {T}}\psi (x_{1},t_{1})\psi ^{\dagger }(x_{2},t_{2})\rangle }$

(où ${\displaystyle \psi ,\psi ^{\dagger }}$ sont des opérateurs de création et d'annihilation, ${\displaystyle T}$ désigne le produit chronologique et ${\displaystyle {\tilde {T}}}$ désigne le produit antichronologique), au lieu d'une seule fonction de Green dans la théorie d'équilibre. Ces quatre fonctions de Green forment une matrice^[3] ${\displaystyle {\hat {G}}}$, qui remplace la fonction de Green scalaire dans les lignes des diagrammes de Feynman. Les observables physiques^[3] comme la densité de particules ${\displaystyle \rho (x,t)}$ ou le courant ${\displaystyle {\vec {j}}(x,t)}$ s'expriment à l'aide de la fonction ${\displaystyle G^{<}}$:

${\displaystyle \rho (x,t)=\lim _{x'\to x \atop t'\to t}-iG^{<}(x,t;x',t')}$

${\displaystyle {\vec {j}}(x,t)=-{\frac {\hbar }{2m}}\lim _{x'\to x \atop t'\to t}\left[\nabla _{x'}G^{<}(x,t;x',t')-\nabla _{x}G^{<}(x,t;x',t')\right]}$

Les termes d'interaction (sommets des diagrammes de Feynman) acquièrent aussi une structure matricielle^[8]. En particulier, un terme d'énergie potentielle est représenté par une matrice 2×2 diagonale avec +1 sur la première ligne et -1 sur la deuxième ligne multipliant le potentiel.

Les fonctions de Green hors équilibre peuvent être obtenues en considérant un contour^[3] ${\displaystyle C=C_{+}\cup C_{-}}$partant de ${\displaystyle -\infty }$ jusqu'à un temps ${\displaystyle T>\max(t_{1},t_{2})}$ puis retournant en ${\displaystyle -\infty }$ et en définissant un produit chronologique ${\displaystyle T_{C}}$ sur ce contour tel que la partie de ${\displaystyle C_{+}=]-\infty +i0_{+},T]}$ se situe avant la partie ${\displaystyle C_{-}=]T,-\infty +i0_{-}]}$. Lorsque ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in C_{+}}$ ${\displaystyle T_{C}}$ est le produit chronologique, ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in C_{-}}$

${\displaystyle T_{C}}$devient le produit antichronologique. C'est pourquoi on rencontre parfois l'expression^[9] closed-time path formalism (formalisme du contour temporel fermé) utilisée comme synonyme du formalisme de Keldysh.

Fonctions de Green avancées, retardées, et fonction de Keldysh[modifier | modifier le code]

Les fonctions de Green ${\displaystyle G^{\pm \pm }}$étant linéairement dépendantes ${\displaystyle G^{++}+G^{--}=G^{+-}+G^{-+}}$et il est possible au moyen d'une rotation^[3] de se ramener à la forme:

${\displaystyle {\hat {G}}=\left({\begin{array}{cc}G^{R}&G^{K}\\0&G^{A}\end{array}}\right)}$

où

${\displaystyle G^{R}=G^{++}-G^{+-}=-i\Theta (t_{1}-t_{2})\langle \{\psi (x_{1},t_{1}),\psi ^{\dagger }(x_{2},t_{1})\}\rangle }$est la fonction de Green retardée, ${\displaystyle \Theta (t)}$ est la fonction de Heaviside,

${\displaystyle G^{A}=G^{++}-G^{-+}=i\Theta (t_{2}-t_{1})\langle \{\psi (x_{1},t_{1}),\psi ^{\dagger }(x_{2},t_{1})\}\rangle }$est la fonction de Green avancée,

${\displaystyle G^{K}=G^{+-}+G^{-+}=-i\langle [\psi (x_{1},t_{1}),\psi ^{\dagger }(x_{2},t_{1})]\rangle }$ est la fonction de Green de Keldysh qui sert maintenant à exprimer les valeurs moyennes des observables physiques. Dans ces formules le symbole ${\displaystyle \{A,B\}=AB+BA}$ désigne l'anti-commutateur, et ${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$ le commutateur. Dans cette représentation, les termes d'énergie potentielle sont représentés par une matrice identité multipliant le potentiel.

Équation de Dyson[modifier | modifier le code]

Comme dans le cas d'équilibre, il est possible de sommer les parties irréductibles de la série donnant la fonction de Green pour obtenir l'équation de Dyson^[3]

${\displaystyle (G_{0}^{-1}-\Sigma ){\hat {G}}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})=\mathrm {Id} \delta (x_{1}-x_{2})\delta (t_{1}-t_{2})}$,

où ${\displaystyle \mathrm {Id} }$ est la matrice identité. L'opérateur self énergie ${\displaystyle \Sigma =\left({\begin{array}{cc}\Sigma ^{R}&\Sigma ^{K}\\0&\Sigma ^{A}\\\end{array}}\right)}$possède la même structure matricielle que la fonction de Green. L'équation de Dyson constitue un point de départ pour l'obtention d'équations cinétiques^[3].

Intégrales fonctionnelles et Formalisme de Keldysh[modifier | modifier le code]

Ce formalisme peut aussi être décrit en termes d'intégrales de chemin^[10], ce qui permet de le relier à la méthode de Martin-Siggia-Rose pour les systèmes classiques hors d'équilibre.

Notes et références[modifier | modifier le code]

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