Surface de coordonnées cylindriques paraboliques. Les fonctions cylindre parabolique apparaissent lorsque la séparation des variables est utilisée sur l'équation de Laplace dans ces coordonnées Tracé de la fonction cylindre parabolique D 5 (z ) dans le plan complexe de -2-2i à 2+2i avec des couleurs créées avec la fonction Mathematica 13.1 ComplexPlot3D En mathématiques , les fonctions cylindre parabolique sont des fonctions spéciales définies comme des solutions à l'équation différentielle
d 2 f d z 2 + ( a ~ z 2 + b ~ z + c ~ ) f = 0. {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} z^{2}}}+\left({\tilde {a}}z^{2}+{\tilde {b}}z+{\tilde {c}}\right)f=0.} (1 )
Cette équation apparait lorsque la technique de séparation des variables est utilisée sur l'équation de Laplace exprimée en coordonnées cylindriques paraboliques.
L'équation ci-dessus peut être amenée sous deux formes distinctes (A) et (B) en complétant le carré et en redimensionnant z , appelées équations de HF Weber (Weber 1869 ) :
d 2 f d z 2 − ( 1 4 z 2 + a ) f = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} z^{2}}}-\left({\frac {1}{4}}z^{2}+a\right)f=0} (A) et
d 2 f d z 2 + ( 1 4 z 2 − a ) f = 0. {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} z^{2}}}+\left({\frac {1}{4}}z^{2}-a\right)f=0.} (B) Si
f ( a , z ) {\displaystyle f(a,z)\,} est une solution, alors le sont aussi
f ( a , − z ) , f ( − a , i z ) et f ( − a , − i z ) . {\displaystyle f(a,-z),f(-a,\mathrm {i} z){\text{ et }}f(-a,-\mathrm {i} z).\,} Si
f ( a , z ) {\displaystyle f(a,z)\,} est une solution de l'équation (A), alors
f ( − i a , z e i π 4 ) {\displaystyle f(-\mathrm {i} a,z\mathrm {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{4}})\,} est une solution de (B), et, par symétrie,
f ( − i a , − z e i π 4 ) , f ( i a , − z e − i π 4 ) et f ( i a , z e − i π 4 ) {\displaystyle f(-\mathrm {i} a,-z\mathrm {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{4}}),f(\mathrm {i} a,-z\mathrm {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \pi }{4}}}){\text{ et }}f(\mathrm {i} a,z\mathrm {e} ^{\frac {-\mathrm {i} \pi }{4}})\,} sont aussi des solutions de (B).
Il existe des solutions paires et impaires indépendantes de l'équation de la forme (A). Ceux-ci sont donnés par (suivant la notation d'Abramowitz et Stegun (1965)):
y 1 ( a ; z ) = exp ( − z 2 / 4 ) 1 F 1 ( 1 2 a + 1 4 ; 1 2 ; z 2 2 ) ( p a i r e ) {\displaystyle y_{1}(a;z)=\exp(-z^{2}/4)\;_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}}a+{\frac {1}{4}};\;{\frac {1}{2}}\;;\;{\frac {z^{2}}{2}}\right)\,\,\,\,\,\,(\mathrm {paire} )} y 2 ( a ; z ) = z exp ( − z 2 / 4 ) 1 F 1 ( 1 2 a + 3 4 ; 3 2 ; z 2 2 ) ( i m p a i r e ) {\displaystyle y_{2}(a;z)=z\exp(-z^{2}/4)\;_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}}a+{\frac {3}{4}};\;{\frac {3}{2}}\;;\;{\frac {z^{2}}{2}}\right)\,\,\,\,\,\,(\mathrm {impaire} )} où 1 F 1 ( a ; b ; z ) = M ( a ; b ; z ) {\displaystyle \;_{1}F_{1}(a;b;z)=M(a;b;z)} est la fonction hypergéométrique confluente de première espèce .
D'autres paires de solutions indépendantes peuvent être formées à partir de combinaisons linéaires des solutions ci-dessus (voir Abramowitz et Stegun). Une telle paire est basée sur leur comportement à l'infini :
U ( a , z ) = 1 2 ξ π [ cos ( ξ π ) Γ ( 1 / 2 − ξ ) y 1 ( a , z ) − 2 sin ( ξ π ) Γ ( 1 − ξ ) y 2 ( a , z ) ] {\displaystyle U(a,z)={\frac {1}{2^{\xi }{\sqrt {\pi }}}}\left[\cos(\xi \pi )\Gamma (1/2-\xi )\,y_{1}(a,z)-{\sqrt {2}}\sin(\xi \pi )\Gamma (1-\xi )\,y_{2}(a,z)\right]} V ( a , z ) = 1 2 ξ π Γ [ 1 / 2 − a ] [ sin ( ξ π ) Γ ( 1 / 2 − ξ ) y 1 ( a , z ) + 2 cos ( ξ π ) Γ ( 1 − ξ ) y 2 ( a , z ) ] {\displaystyle V(a,z)={\frac {1}{2^{\xi }{\sqrt {\pi }}\Gamma [1/2-a]}}\left[\sin(\xi \pi )\Gamma (1/2-\xi )\,y_{1}(a,z)+{\sqrt {2}}\cos(\xi \pi )\Gamma (1-\xi )\,y_{2}(a,z)\right]} où
ξ = 1 2 a + 1 4 . {\displaystyle \xi ={\frac {1}{2}}a+{\frac {1}{4}}.} La fonction U (a , z ) se rapproche de zéro pour les grandes valeurs de z et | arg(z )| < π/2 , tandis que V (a , z ) diverge pour les grandes valeurs de z réel positif.
lim z → ∞ U ( a , z ) / e − z 2 / 4 z − a − 1 / 2 = 1 ( pour | arg ( z ) | < π / 2 ) {\displaystyle \lim _{z\rightarrow \infty }U(a,z)/\mathrm {e} ^{-z^{2}/4}z^{-a-1/2}=1\,\,\,\,({\text{pour}}\,|\arg(z)|<\pi /2)} et
lim z → ∞ V ( a , z ) / 2 π e z 2 / 4 z a − 1 / 2 = 1 ( si arg ( z ) = 0 ) . {\displaystyle \lim _{z\rightarrow \infty }V(a,z)/{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\mathrm {e} ^{z^{2}/4}z^{a-1/2}=1\,\,\,\,({\text{si}}\,\arg(z)=0).} Pour les valeurs demi-entières de a , celles-ci (c'est-à-dire U et V ) peuvent être réexprimées en termes de polynômes d'Hermite ; alternativement, elles peuvent également être exprimés en termes de fonctions de Bessel .
Les fonctions U et V peuvent également être apparentées aux fonctions Dp (x ) (une notation datant de Whittaker (1902)) qui sont elles-mêmes parfois appelées fonctions cylindre parabolique (voir Abramowitz et Stegun (1965)) :
U ( a , x ) = D − a − 1 2 ( x ) , {\displaystyle U(a,x)=D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(x),} V ( a , x ) = Γ ( 1 2 + a ) π [ sin ( π a ) D − a − 1 2 ( x ) + D − a − 1 2 ( − x ) ] . {\displaystyle V(a,x)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+a)}{\pi }}\left[\sin(\pi a)D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(x)+D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(-x)\right].} La fonction Da (z ) a été introduite par Whittaker et Watson comme solution de l'équation ~(1) avec a ~ = − 1 4 , b ~ = 0 , c ~ = a + 1 2 {\displaystyle {\tilde {a}}=-{\frac {1}{4}},{\tilde {b}}=0,{\tilde {c}}=a+{\frac {1}{2}}} borné à + ∞ {\displaystyle +\infty } . Il peut être exprimé en termes de fonctions hypergéométriques confluentes comme
D a ( z ) = 1 π 2 a / 2 e − z 2 4 [ cos ( π a 2 ) Γ ( a + 1 2 ) 1 F 1 ( − a 2 ; 1 2 ; z 2 2 ) + 2 z sin ( π a 2 ) Γ ( a 2 + 1 ) 1 F 1 ( 1 2 − a 2 ; 3 2 ; z 2 2 ) ] . {\displaystyle D_{a}(z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{2^{a/2}\mathrm {e} ^{-{\frac {z^{2}}{4}}}\left[\cos \left({\frac {\pi a}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {a+1}{2}}\right)\,_{1}F_{1}\left(-{\frac {a}{2}};{\frac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{2}}\right)+{\sqrt {2}}z\sin \left({\frac {\pi a}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {a}{2}}+1\right)\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {a}{2}};{\frac {3}{2}};{\frac {z^{2}}{2}}\right)\right]}.} Un développement en série entière pour cette fonction a été obtenue par Abadir (1993).
(en) Abadir, K. M., « Expansions for some confluent hypergeometric functions », Journal of Physics A , no 26, 1993 , p. 4059-4066 . (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition ] (lire en ligne ) (en) « Fonction cylindre parabolique » , dans Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer , 2002 (ISBN 978-1556080104 , lire en ligne ) (en) N. M. Temme , « Parabolic Cylinder Functions », sur NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255 ) (de) H.F. Weber , « Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung ∂ 2 u / ∂ x 2 + ∂ 2 u / ∂ y 2 + k 2 u = 0 {\displaystyle \partial ^{2}u/\partial x^{2}+\partial ^{2}u/\partial y^{2}+k^{2}u=0} », Math. Ann. , vol. 1, 1869 , p. 1–36 (en) Whittaker, E.T., « On the functions associated with the parabolic cylinder in harmonic analysis », Proc. London Math. Soc. , no 35, 1902 , p. 417–427 . (en) Whittaker, E. T. et Watson, G. N., A Course in Modern Analysis : The Parabolic Cylinder Function , Cambridge,, Cambridge University Press, 1990 , 347-348 p. , « 16.5 » .