Fonction carré — Wikipédia

Fonction carré

Courbe représentative de la fonction ${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$.

Notation	${\displaystyle x^{2}}$
Réciproque	${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ sur ${\displaystyle [0,+\infty [}$
Dérivée	${\displaystyle 2x}$
Primitives	${\displaystyle {\frac {x^{3}}{3}}+C}$

Principales caractéristiques

Ensemble de définition	${\displaystyle \mathbb {R} }$
Ensemble image	${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$
Parité	paire

Valeurs particulières

Valeur en zéro	0
Limite en +∞	+∞
Limite en −∞	+∞
Minima	0

Particularités

Zéros	0
Points fixes	0 ; 1

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En analyse réelle, la fonction carré^[1] est la fonction qui associe à chaque nombre réel son carré, c’est-à-dire le résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même.

Cette fonction puissance, qui peut s’exprimer sous la forme x ↦ x² = x × x est une fonction paire, positive et dont la courbe est une parabole d’axe vertical, de sommet à l’origine et orientée dans le sens des ordonnées positives. Comme fonction continue et strictement croissante sur l’intervalle [0, +∞[, elle induit une bijection de cet intervalle dans lui-même, admettant pour réciproque la fonction racine carrée.

La fonction carré est aussi le premier exemple de fonction du second degré, et se généralise à plusieurs variables avec la notion de forme quadratique. Elle s’étend également au plan complexe comme une fonction entière avec une racine double en 0.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Signe[modifier | modifier le code]

La première propriété est la positivité (au sens large) de la fonction carré. En effet pour tout réel x, le réel x × x est le produit de deux nombres réels de même signe ; par la règle des signes il est donc positif.

Parité[modifier | modifier le code]

La fonction est paire : f(x) = f(–x) pour tout réel x. En effet, (–x) × (–x) = x × x.

Convexité[modifier | modifier le code]

La fonction carré est strictement convexe sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$. En effet, sa dérivée seconde est strictement positive : f '' = 2 > 0.

Résolution d'équation de type x² = a[modifier | modifier le code]

Calculer les antécédents d'un réel a par la fonction carré équivaut à résoudre l'équation x² = a. Il y a trois cas possibles :

• a < 0 : aucune solution dans l'ensemble des réels ;
• a = 0 : une solution, x = 0 ;
• a > 0 : deux solutions, √a et –√a.

Par exemple, les solutions de x² = 9 sont 3 et –3.

On peut également déterminer les antécédents graphiquement : les antécédents de a sont les abscisses des points d'intersection de la droite d'équation y = a et du graphe de la fonction carré.

Dérivée[modifier | modifier le code]

La dérivée de la fonction carré est ${\displaystyle x\mapsto 2x}$ (c'est une fonction linéaire donc impaire)^[2]. Elle est donc (strictement) négative sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{-}^{*}}$ et positive sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$, si bien que la fonction carré est (strictement) décroissante sur ]–∞ , 0] et croissante sur [0, +∞[. Elle s'annule en 0, son minimum global. Le sens de variation de la fonction carré est à prendre en compte lors de la résolution d'inéquations (inversion des inégalités si les valeurs sont négatives).

Intégrale[modifier | modifier le code]

Comme la fonction carré est un polynôme quadratique, la méthode de Simpson est exacte lorsqu'on calcule son intégrale. Pour tout polynôme quadratique P et a et b réels, on a :

${\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)\,\mathrm {d} x={\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]}$

donc pour la fonction carré définie par ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$, on a :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x={\frac {b-a}{3}}(a^{2}+ab+b^{2}).}$

Primitive[modifier | modifier le code]

La fonction carré possède comme primitives toutes les fonctions g_C définies par, pour C une constante réelle arbitraire :

${\displaystyle g_{C}(x)={\frac {x^{3}}{3}}+C}$.

Représentation graphique[modifier | modifier le code]

Dans un repère orthonormal, la fonction est représentée par une parabole dont le sommet est le point (0, 0). L'intégralité de la parabole se situe au-dessus de l'axe des abscisses — ce qui traduit la positivité de la fonction — et la parité est décelable grâce à l'axe de symétrie qu'est l'axe des ordonnées.

La limite de la fonction carré, en plus l'infini et en moins l'infini, est égale à plus l'infini.

Extension au domaine complexe[modifier | modifier le code]

On peut étendre la définition de la fonction carré au domaine complexe en définissant ${\displaystyle f:z\rightarrow z^{2}}$. Par exemple, si ${\displaystyle z=2+\mathrm {i} }$, ${\displaystyle f(z)=3+4\mathrm {i} }$. ${\displaystyle f}$ peut être aussi considérée comme une fonction de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, la fonction qui au couple ${\displaystyle (x,y)}$ associe le couple ${\displaystyle (x^{2}-y^{2},2xy)}$ puisque, en écrivant ${\displaystyle z=x+\mathrm {i} y}$, on a^[3] ${\displaystyle z^{2}=x^{2}-y^{2}+2\mathrm {i} xy}$.

La fonction carré peut servir à illustrer des propriétés de différentiabilité, d'holomorphie, sert souvent d'exemple pour illustrer les conditions de Cauchy-Riemann^[4],[5].

La fonction carré sert également à démontrer une propriété géométrique des triplets pythagoriciens.

La fonction carré sert également^[6] à illustrer le théorème de l'application conforme.

Notes et références[modifier | modifier le code]

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