Ensemble d'arrivée — Wikipédia

En mathématiques, pour une application ou une fonction^[1] donnée $f : A \to B$ , l'ensemble $B$ est appelé l'ensemble d'arrivée (on dit parfois le but de $f$ ou le codomaine de $f$ ).

Diagramme sagittal d'une application d'ensemble de départ $A$ = {1,2,3,4} et d'ensemble d'arrivée $B$ = {a,b,c,d}. Ici, l'image {b,c,d} de cette fonction est différente de son ensemble d'arrivée.

L'ensemble d'arrivée ne doit pas être confondu avec l'image $f (A)$ de $f$ , qui est en général seulement un sous-ensemble de $B$ .

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit la fonction $f$ sur l'ensemble des nombres réels définie par

{\begin{matrix}f&:&\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &x^{2}.\end{matrix}}

L'ensemble d'arrivée de $f$ est $\mathbb {R}$ mais $f (x)$ ne prend jamais de valeurs négatives. L'image est en fait l'intervalle $\left[0,+\infty \right[=\mathbb {R} _{+}$ des réels positifs.

f\left(\mathbb {R} \right)=\left[0,+\infty \right[

.

Nous aurions pu définir une fonction $g$ ainsi :

{\begin{matrix}g&:&\mathbb {R} &\to &\left[0,+\infty \right[\\&&x&\mapsto &x^{2}.\end{matrix}}

Tandis que $f$ et $g$ ont le même effet quand elles sont appliquées à un nombre réel donné, les fonctions sont différentes puisqu'elles ont des ensembles d'arrivée différents.

Surjectivité[modifier | modifier le code]

Article détaillé : surjection.

L'ensemble d'arrivée peut avoir un effet sur la surjectivité d'une fonction ; dans notre exemple, $g$ est surjective alors que $f$ ne l'est pas.

De manière générale, une application $f : A \to B$ est surjective si, et seulement si, son image est égale à son ensemble d'arrivée, c'est-à-dire $f(A)=B$ .

À noter qu'on peut toujours, à partir d'une application $f:A\rightarrow B$ construire une application surjective en restreignant son ensemble d'arrivée à l'image de $f$ : l'application $g:A\rightarrow f(A)$ définie par $g(x)=f(x)$ pour tout $x$ dans $A$ est surjective.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Ensemble de définition

Notes[modifier | modifier le code]

↑ Selon les sources, il y a distinction ou non entre les notions de fonction et d'application, voir Application_(mathématiques)#Fonction_et_application pour plus de détails. Ce qui est énoncé dans cet article est valable que la distinction soit faite ou non.

Crédit d'auteurs[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Codomain » (voir la liste des auteurs).

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[1] Selon les sources, il y a distinction ou non entre les notions de fonction et d'application, voir Application_(mathématiques)#Fonction_et_application pour plus de détails. Ce qui est énoncé dans cet article est valable que la distinction soit faite ou non.

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