Catégorie des relations — Wikipédia

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En mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, la catégorie des relations, notée Rel, est la catégorie dont les objets sont les ensembles et dont les morphismes sont les relations binaires entre ces ensembles.

La composition de deux relations R ⊆ A × B et S ⊆ B × C est donné par

(a, c) ∈ S o R ⇔ ∃ b ∈ B, (a, b) ∈ R et (b, c) ∈ S^[1].

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

Rel est isomorphe à Rel^op, en effet, on peut associer uniquement à toute relation sa relation réciproque^[2].

Produit cartésien[modifier | modifier le code]

Rel est une catégorie cartésienne:

• L'objet terminal est l'ensemble vide.
• Le produit cartésien pour une famille ${\displaystyle (E_{i})_{i\in I}}$ est donné par:

$${\displaystyle \Pi _{i\in I}E_{i}=\cup _{i\in I}(\{i\}\times E_{i})}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\pi _{i}\ :\ \Pi _{i\in I}E_{i}\to E_{i}\\&\pi _{i}=\{((i,e),e)\ |\ e\in E_{i}\}\end{aligned}}}$$

Références[modifier | modifier le code]

• Portail des mathématiques