Carl Johan Malmsten — Wikipédia

Carl Johan Malmsten
Fonctions
Membre de la Première chambre du Riksdag suédois
Skaraborg County Constituency (d)
-
Governor of Skaraborg County
-
Jonas Wærn (d)
Cornelius Sjöcrona (d)
Ministre sans portefeuille
De Geer the Elder I Cabinet (d)
Adlercreutz Cabinet (d)
-
Principal of Uppsala University
-
Christopher Jacob Boström (en)
Olof Wingqvist (d)
Biographie
Naissance
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Paroisse de Skara (d)Voir et modifier les données sur Wikidata
Décès
Voir et modifier les données sur Wikidata (à 71 ans)
Paroisse de la cathédrale d’Uppsala (d)Voir et modifier les données sur Wikidata
Sépulture
Vieux cimetière d'Uppsala (en)Voir et modifier les données sur Wikidata
Nom dans la langue maternelle
Carl Johan MalmsténVoir et modifier les données sur Wikidata
Nationalité
Formation
Université d’Uppsala (à partir de )Voir et modifier les données sur Wikidata
Activités
Mère
Sara Christina Malmsten (d)Voir et modifier les données sur Wikidata
Fratrie
Pehr Henrik Malmsten (d)Voir et modifier les données sur Wikidata
Enfant
Anna Christina Säve (d)Voir et modifier les données sur Wikidata
Parentèle
Ernst Christian Julius Schering (en) (gendre)Voir et modifier les données sur Wikidata
Autres informations
A travaillé pour
Membre de
Société royale des sciences d'Uppsala ()
Académie royale des sciences de Suède ()
Société royale des sciences et des lettres de Göteborg (en) ()
Société royale de physiographie à Lund (en) ()
Académie royale danoise des sciences et des lettres ()
Académie royale des sciences de Prusse ()
Académie des sciences de Göttingen ()
Académie des Lyncéens ()Voir et modifier les données sur Wikidata
Maître

Carl Johan Malmsten (9 avril 1814, Uddetorp, Suède – 11 février 1886, Uppsala) est un mathématicien et un homme politique suédois, connu pour ses découvertes en analyse complexe[1], et pour l'aide qu'il a apportée à Mittag-Leffler dans sa création du journal Acta Mathematica[2]. On a redécouvert à la fin du 20e siècle ses évaluations de plusieurs importantes séries et intégrales logarithmiques.

Malmsten est devenu maître de conférences en 1840, puis professeur de mathématiques en 1842 à l'université d'Uppsala. Il fut élu à l'Académie royale des sciences de Suède en 1844. Il était également ministre sans portefeuille de 1859 à 1866, et gouverneur du comté de Skaraborg de 1866 à 1879.

Principales contributions[modifier | modifier le code]

Bien que Malmsten soit surtout connu pour ses travaux en analyse complexe[1], il a aussi apporté de grandes contributions à d'autres branches des mathématiques, mais ses résultats ont été injustement oubliés, ou attribués à d'autres, souvent bien postérieurs. Ainsi, ce n'est qu'en 2012 que Iaroslav Blagouchine découvrit que Malmsten avait été le premier à déterminer la valeurs de plusieurs intégrales et séries liées aux fonctions gamma et zêta, parmi lesquelles des séries attribuées jusque-là à Kummer et des intégrales calculées par Ilan Vardi[3]. Malmsten obtint ainsi en 1842 l'ensemble des intégrales suivantes, mettant en jeu la fonction logarithme itéré[3] :

, et plus généralement :

(pour lesquelles désigne la fonction gamma et la constante d'Euler)

Beaucoup de ces intégrales furent redécouvertes par plusieurs auteurs à partir de 1988, en particulier Vardi[4], Adamchik[5] , Medina[6], et Moll[7] ; la première a été souvent nommée intégrale de Vardi , et figure sous ce nom sur MathWorld[8] ou sur le site de l'OEIS[9]. Malmsten obtint les formules précédentes par des manipulations de séries, mais les auteurs les ayant redécouvertes utilisèrent des intégrales de contour[3], la fonction zêta de Hurwitz[5], les polylogarithmes[6], ou encore les fonctions L[4]. Plus de 70 intégrales analogues plus complexes ont été découvertes par Adamchik[5] et Blagouchine[3], par exemple les deux suivantes[5] :

Certaines de ces intégrales font apparaitre des arguments complexes de la fonction gamma (ce qui est plutôt inhabituel), par exemple[3] :

,

et d'autres sont liées aux constantes de Stieltjes[3],[10],[11].

En 1842, Malmsten détermina également la valeur de plusieurs séries mettant en jeu des logarithmes, par exemple

et

lesquelles furent redécouvertes (sous une forme légèrement différente) par Ernst Kummer en 1847[3].

Malsmten apporta également une contribution notable à la théorie des fonctions L, obtenant en 1842 l'importante équation fonctionnelle

et son analogue pour la fonction M définie par

(dans ces deux formules, 0<s<1). La première avait été découverte par Leonhard Euler en 1749[12], mais Malmsten en donna une démonstration rigoureuse. Quatre ans plus tard, Malmsten obtint d'autres formules analogues, cas particuliers de l'équation fonctionnelle de Hurwitz.

Enfin, en 2014, Blagouchine découvrit[10] que Malmsten avait obtenu en 1846 la formule de réflexion pour les constantes de Stieltjes  :

(m et n entiers positifs avec m<n). Dans la littérature, cette identité est en général attribuée à Almkvist et Meurman, qui l'ont obtenue dans les années 1990[10].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b (su) Carl Malmsten, Om definita integraler mellan imaginära gränsor (1865).
  2. Lettre de Mittag-Lefler à Henri Poincaré.
  3. a b c d e f et g (en) Iaroslav V. Blagouchine Rediscovery of Malmsten’s integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results. The Ramanujan Journal, vol. 35, no. 1, pp. 21-110, 2014. Erratum-Addendum: vol. 42, pp. 777-781, 2017. PDF
  4. a et b (en) I. Vardi Integrals, an introduction to analytic number theory. American Mathematical Monthly, vol. 95, pp. 308-315, 1988.
  5. a b c et d (en) V. Adamchik A class of logarithmic integrals. Proceedings of the 1997 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, pp. 1-8, 1997.
  6. a et b (en) L. A. Medina et V. H. Moll A class of logarithmic integrals. The Ramanujan Journal, vol. 20, no. 1, pp. 91-126, 2009.
  7. (en) V. H. Moll Some Questions in the Evaluation of Definite Integrals. MAA Short Course, San Antonio, TX. Jan. 2006.
  8. (en) Eric W. Weisstein Vardi's Integral. From MathWorld-A Wolfram Web Resource.
  9. Voir les références de la suite A115252 de l'OEIS
  10. a b et c (en) Iaroslav V. Blagouchine A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations Journal of Number Theory (Elsevier), vol. 148, pp. 537-592 and vol. 151, pp. 276-277, 2015. arXiv PDF
  11. (en) « real analysis - Integral $ \int_0^1 \frac{\ln \ln (1/x)}{1+x^{2p}} dx$...Definite Integral », sur Mathematics Stack Exchange (consulté le )
  12. L. Euler Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques. Histoire de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres, année MDCCLXI, Tome 17, pp. 83-106, A Berlin, chez Haude et Spener, Libraires de la Cour et de l'Académie Royale, 1768 [read in 1749]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]