Équation polaire — Wikipédia

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Le plan est muni d'un repère orthonormal ${\displaystyle (\mathrm {O} ,{\vec {i}},{\vec {j}})}$. Si ${\displaystyle f}$ est une fonction numérique, on peut considérer l'ensemble des points M dont un système de coordonnées polaires ${\displaystyle (\rho ,\theta )}$ vérifient l'équation :

${\displaystyle \rho =f(\theta )}$.

On dit que la courbe plane en question a pour équation polaire :

${\displaystyle \rho =f(\theta )}$.

Si ${\displaystyle \rho =0}$, on placera alors le point M à l'origine du repère bien qu'en toute théorie, on ne puisse plus définir l'angle ${\displaystyle ({\vec {i}},{\vec {OM}})}$.

Si une courbe possède une équation polaire et si l'intervalle ${\displaystyle \left[\theta _{1},\theta _{2}\right]}$ est inclus dans le domaine de définition, la restriction de la courbe à cet intervalle peut être parcourue en tournant dans le sens trigonométrique de l'angle ${\displaystyle \theta _{1}}$ à l'angle ${\displaystyle \theta _{2}}$.

Base mobile[modifier | modifier le code]

On introduit pour chaque valeur de θ une base orthonormale directe ${\displaystyle \left({\vec {u}}(\theta ),{\vec {v}}(\theta )\right)}$, obtenue par rotation de θ à partir de la base ${\displaystyle \left({\vec {i}},{\vec {j}}\right)}$. Ainsi

${\displaystyle {\vec {u}}(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\qquad {\vec {v}}(\theta )={\begin{pmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \end{pmatrix}}={\vec {u}}(\theta +{\frac {\pi }{2}})}$.

On s'efforcera d'exprimer toutes les notions géométriques à l'aide de cette base. Cependant comme ces deux vecteurs dépendent de θ, il ne faut pas oublier de les dériver eux aussi.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}}{\mathrm {d} \theta }}={\vec {v}}\qquad {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} \theta }}=-{\vec {u}}}$.

Remarque : dériver ces vecteurs revient à leur faire subir une rotation de π/2.

Vecteur position[modifier | modifier le code]

Par définition même des coordonnées polaires, ${\displaystyle {\vec {u}}}$ est un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que ${\displaystyle {\vec {OM}}}$ et ainsi

${\displaystyle {\vec {OM}}=f(\theta ){\vec {u}}}$.

Couplée avec les formules de dérivation des vecteurs u et v ci-dessus, cette formule permet de calculer tous les objets de géométrie différentielle usuels.

Tangente à la courbe[modifier | modifier le code]

Si la fonction ${\displaystyle f}$ est dérivable alors

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {OM}}}{\mathrm {d} \theta }}=f'(\theta ){\vec {u}}(\theta )+f(\theta ){\vec {v}}(\theta )}$.

Si ce vecteur est non nul, il est un vecteur directeur de la tangente (T) à la courbe au point associé à ${\displaystyle \theta }$. Alors pour tout point M distinct de l'origine, l'angle ${\displaystyle V}$ entre le vecteur ${\displaystyle {\vec {OM}}}$ et le vecteur tangent ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {OM}}}{\mathrm {d} \theta }}}$ vérifie donc :

${\displaystyle \tan V={\frac {f(\theta )}{f'(\theta )}}}$ si ${\displaystyle f'(\theta )\neq 0}$,

${\displaystyle V=\pm {\frac {\pi }{2}}}$ si ${\displaystyle f'(\theta )=0}$.

Abscisse curviligne[modifier | modifier le code]

Si l'origine est prise en ${\displaystyle \theta _{0}}$ alors l'abscisse curviligne, c’est-à-dire la longueur algébrique de la courbe entre le point ${\displaystyle M(\theta _{0})}$ et ${\displaystyle M(\theta _{1})}$, est :

${\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{1}}{\sqrt {f'^{2}(\theta )+f^{2}(\theta )}}\,\mathrm {d} \theta }$.

Rayon de courbure[modifier | modifier le code]

Le rayon de courbure est le rayon du cercle tangent à (T) et qui approche « au mieux » la courbe.

Si la fonction ${\displaystyle f}$ est deux fois dérivable, et si ${\displaystyle 2f'^{2}(\theta )+f^{2}(\theta )-f(\theta )f''(\theta )}$ est non nul, le rayon de courbure est :

${\displaystyle {\frac {(f'^{2}(\theta )+f^{2}(\theta ))^{3/2}}{2f'^{2}(\theta )+f^{2}(\theta )-f(\theta )f''(\theta )}}}$.

Point d'inflexion[modifier | modifier le code]

Si la fonction ${\displaystyle f}$ est deux fois dérivable, les points d'inflexion se trouvent parmi les points qui annulent la quantité ${\displaystyle 2f'^{2}(\theta )+f^{2}(\theta )-f(\theta )f''(\theta )}$. L'annulation de cette grandeur exprime en effet que les deux premières dérivées vectorielles du rayon-vecteur sont colinéaires.

Branches infinies[modifier | modifier le code]

Pour étudier une branche infinie quand ${\displaystyle \theta \to \theta _{0}}$, on utilise les coordonnées cartésiennes dans la base ${\displaystyle \left({\vec {u}}(\theta _{0}),{\vec {v}}(\theta _{0})\right)}$^[1].

Équations polaires paramétriques[modifier | modifier le code]

Si la courbe est donnée par une équation polaire paramétrique r(t), θ(t), les vecteurs vitesse et accélération peuvent être calculés dans la base mobile ; on note par un point la dérivation par rapport au paramètre t :

${\displaystyle {\vec {V}}={\dot {r}}{\vec {u}}+r{\dot {\theta }}{\vec {v}}}$ ;

${\displaystyle {\vec {A}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\vec {u}}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\vec {v}}}$.

Référence[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Rosace, Spirale, Limaçon, Lemniscate…

v · m Courbe - Éléments de navigation
Modes de génération	Représentation graphique d'une fonction mathématique Équation cartésienne Équation polaire Arc paramétré Trajectoire Courbe de niveau Courbe plane Courbe gauche Courbe tracée sur une surface Courbe algébrique Courbe elliptique Courbe de Bézier
Éléments remarquables	Tangente Longueur d'un arc Abscisse curviligne Courbure Cercle osculateur Rayon de courbure Centre de courbure Torsion Repère de Frenet Repère de Darboux Sinuosité Asymptote Point d'inflexion Point de rebroussement Bitangente
Traçage	Compas Compas parfait Ellipsographe Mécanisme de Watt Pantographe Spirographe Théorème d'universalité de Kempe
Transformées	Développée Développante Podaire Caustique Tractoire
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