Équation différentielle d'ordre un à variables séparées — Wikipédia

Une équation différentielle d'ordre un à variables séparées est une équation différentielle qui peut s'écrire sous la forme suivante

${\displaystyle y'=f(x)g(y)\,}$

Solutions régulières[modifier | modifier le code]

On recherche dans un premier temps les solutions telles que g(y) n'est jamais nul. De telles solutions sont dites régulières.

Utilisation des notations de Leibniz[modifier | modifier le code]

Cette présentation classique, notamment pour la résolution de problèmes appliqués, est difficile à justifier mathématiquement mais elle permet d'obtenir une bonne partie des solutions. Elle utilise les notations de Leibniz pour le calcul différentiel. Elle consiste à « séparer les différentielles » en écrivant

${\displaystyle {\frac {1}{g(y)}}{\frac {dy}{dx}}=f(x)\,}$

sous la forme

${\displaystyle {\frac {1}{g(y)}}dy=f(x)dx\,}$

En intégrant séparément chaque membre :

${\displaystyle H(y)=F(x)+K\,}$

où H représente une primitive de ${\displaystyle 1/g}$ et F représente une primitive de f et K une constante arbitraire. En outre, la fonction H est continûment dérivable, strictement monotone, donc admet une fonction réciproque de sorte que la solution s'exprime comme

${\displaystyle y=H^{-1}(F(x)+K)\,}$

Présentation alternative[modifier | modifier le code]

Le calcul utilisé précédemment ne possède un sens mathématique précis que si l'on a introduit la notion assez abstraite de différentielle. Il est possible d'en donner une version plus élémentaire, en primitivant chaque membre de l'expression

${\displaystyle {\frac {1}{g(y(x))}}y'(x)=f(x),\,}$

par rapport à la variable ${\displaystyle x}$, ce qui conduit à

${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{g(y(u))}}y'(u)\,du=\int _{x_{0}}^{x}f(u)\,du}$

Ce qui, après changement de variable, est de la forme

${\displaystyle \int _{y_{0}}^{y}{\frac {1}{g(v)}}\,dv=\int _{x_{0}}^{x}f(u)\,du}$

Et la conclusion est identique à celle du paragraphe précédent.

Prise en compte des solutions singulières[modifier | modifier le code]

La résolution précédente se justifie dans la mesure où on peut effectuer la division par g(y). Elle écarte clairement certaines solutions particulières. En effet, si y₀ est un point d'annulation de g, alors la fonction constante égale à y₀ est une solution maximale de l'équation. Une telle solution, dite solution singulière de l'équation, est donc telle que g(y) est toujours nul.

Si la seule hypothèse faite sur g est la continuité, il peut exister des solutions hybrides constituées du raccordement de solutions régulières et singulières. Sous des hypothèses relativement générales, il n'en est rien : pour une solution donnée, la quantité g(y) sera soit toujours nulle, soit jamais nulle.

Cas où g est localement lipschitzienne[modifier | modifier le code]

La fonction g est supposée localement lipschitzienne. Par le théorème de Cauchy-Lipschitz, toute solution maximale qui prendrait la valeur y₀ coïnciderait automatiquement avec la solution singulière associée. En d'autres termes, les solutions singulières sont bien les seules à prendre des valeurs y qui annulent g. La méthode de détermination des solutions régulières permet d'obtenir toutes les autres.

Dans un plan (x,y) les courbes représentatives des solutions singulières sont des droites parallèles à l'axe des abscisses. Les autres courbes solutions ne les croisent pas et s'inscrivent donc dans une des régions délimitées par les solutions singulières.

Cas particulier : l'équation autonome[modifier | modifier le code]

L'équation différentielle d'ordre 1 à variables séparées est dite en outre autonome lorsqu'elle peut s'écrire sous la forme suivante

${\displaystyle y'=g(y)}$

c'est-à-dire que la relation formelle ne dépend pas de x. Dans ce cas si ${\displaystyle x\mapsto y_{0}(x)}$ est une solution, les fonctions obtenues par translation de la variable, de la forme ${\displaystyle x\mapsto y_{0}(x+A)}$, sont également solutions. Il y a en outre une propriété de monotonie, au moins pour les solutions régulières : puisque g ne s'annule pas, elle garde alors un signe constant.

Plus explicitement^[1] : si ${\displaystyle g:\left[a,b\right]\to \mathbb {R} }$ est continue, nulle en a et b mais non nulle sur ]a, b[ et si G : ]a, b[ → ]c, d[ (continue, monotone, bijective) est une primitive de 1/g sur ]a, b[ alors, les solutions à valeurs dans ]a, b[ de l'équation ${\displaystyle y'=g(y)}$ sont la bijection réciproque G⁻¹ et ses translatées. Les bornes c et d peuvent être finies ou infinies, selon que l'intégrale impropre de 1/g en a et en b est convergente ou divergente. Dans le cas convergent, les solutions s'étendent naturellement aux bornes.

Référence[modifier | modifier le code]

Jean-Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles [détail des éditions]

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