معادله دیفرانسیل تصادفی - ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

یک معادلهٔ دیفرانسیل تصادفی یا Stochastic Differential Equation یا SDE معادله‌ای است که در آن یک یا چند متغیر یک فرایند تصادفی هستند. در نهایت جواب این نوع معادلات خود نیز یک فرایند تصادفی هستند. استفاده از SDE‌ها در مدل سازی‌های پیچیدهٔ احتمال بسیار گسترده است؛ از جمله در مدل‌سازی هزینهٔ نوسانات بازار یا مدل‌سازی فیزیکی نوسانات دمایی اشیا. معمولاً در این گونه مدل سازی‌ها از نویز سفید به عنوان پارامتر کاملاً تصادفی استفاده می‌شود که خود نوعی از فرایند تصادفی وینر (Wiener Process) است. اگرچه باید گفت که در مدل‌سازی تصادفی پارامترها در یک معادلهٔ دیفرانسیل تصادفی، استفاده از سایر فرایندهای تصادفی نیز امکان‌پذیر است.

پیشینه[ویرایش]

قدیمی‌ترین کار در مورد SDE برای توصیف مقالهٔ مشهور آلبرت اینشتین برای توصیف حرکت براونی انجام شد. اگرچه هم‌زمان کارهایی هم توسط افراد دیگر در زمینه ی‌های مشابه انجام می شده‌است.

حل عددی[ویرایش]

پاسخ عددی معادلات دیفرانسیل تصادفی، بخصوص معادلات دیفرانسیل تصادفی پاره ای، به نسبت نسخه‌های غیرتصادفی، زمینه‌ای بسیار جدید است. تقریباً اکثر الگوریتم‌هایی که جواب‌های نسبتاً مناسبی برای معادلات دیرنسیل معمولی به دست می دهند، جواب‌هایی بسیار ضعیف در برابر نسخهٔ تصادفی آن دارند. یکی از مشهورترین کتاب‌ها برای این دسته از مسئله ها، کتاب Kloeden & Platen (1995) است. از جملهٔ راه حل‌های معرفی شده، روش اویلر-مارویاما (Euler–Maruyama method)، روش میلستین (Milstein method) و روش رنگه-کوتا برای معادلات دیفرانسیل تصادفی (Runge–Kutta method (SDE)) هستند.

کاربرد در فیزیک[ویرایش]

معمولاً در فیزیک این معادلات به صورت معادلات لانگوین (Langevin equation) نوشته می‌شوند. به عنوان مثال، نمونه‌ای از معادلات دیفرانسیل تصادفی درجه اول به فرم زیر نوشته می‌شوند:

{\dot {x}}_{i}={\frac {dx_{i}}{dt}}=f_{i}(\mathbf {x} )+\sum _{m=1}^{n}g_{i}^{m}(\mathbf {x} )\eta _{m}(t),\,

که در آن $\mathbf {x} =\{x_{i}|1\leq i\leq k\}$ مجموعه‌ای از مجهولات، $f_{i}$ و $g_{i}$ توابعی دلخواه، $\eta _{m}$ توابع تصادفی از زمان هستند که معمولاً نویز نامیده می‌شوند.

این معادله در حالت یک بعدی به صورت زیر می‌باشد .

$dx_{t}=\mu dt+\sigma dB_{t}$

در این معادله ضریب میو مقداری ثابت و همچنین سیگما نیز عددی ثابت می‌باشد .

منابع[ویرایش]

Adomian, George (1983). Stochastic systems. Mathematics in Science and Engineering (169). Orlando, FL: Academic Press Inc.
Adomian, George (1986). Nonlinear stochastic operator equations. Orlando, FL: Academic Press Inc.
Adomian, George (1989). Nonlinear stochastic systems theory and applications to physics. Mathematics and its Applications (46). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group.
Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1.
Teugels, J. and Sund B. (eds.) (2004). Encyclopedia of Actuarial Science. Chichester: Wiley. pp. 523–527. {{cite book}}: |author= has generic name (help)
C. W. Gardiner (2004). Handbook of Stochastic Methods: for Physics, Chemistry and the Natural Sciences. Springer. p. 415.
Thomas Mikosch (1998). Elementary Stochastic Calculus: with Finance in View. Singapore: World Scientific Publishing. p. 212. ISBN 981-02-3543-7.
Seifedine Kadry, (2007). A Solution of Linear Stochastic Differential Equation. USA: WSEAS TRANSACTIONS on MATHEMATICS, April 2007. p. 618. ISSN 1109-2769.{{cite book}}: نگهداری CS1: نقطه‌گذاری اضافه (link)
Bachelier, L., (1900). Théorie de la speculation (in French), PhD Thesis. NUMDAM: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1900_3_17__21_0. In English in 1971 book 'The Random Character of the Stock Market' Eds. P.H. Cootner. {{cite book}}: External link in |publisher= (help)نگهداری CS1: نقطه‌گذاری اضافه (link) نگهداری یادکرد:نام‌های متعدد:فهرست نویسندگان (link)
P.E. Kloeden and E. Platen, (1995). Numerical Solution of Stochastic Differential Equations,. Springer,.{{cite book}}: نگهداری CS1: نقطه‌گذاری اضافه (link)

ن ب و فرایندهای تصادفی
فرایند تصادفی	فرایند برنولی فرایند شاخه‌ای فرایند رستوران چینی فرایند گالتون-واتسون متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان زنجیره مارکوف فرایند مورن ولگشت Loop-erased ولگشت خودپرهیز (قدم زدن بدون قطع کردن خود)
Continuous time	Bessel process Birth–death process فرایند وینر Bridge Excursion Fractional Geometric Meander فرایند کوشی Contact process گام-تصادفی زمان-پیوسته Cox process Diffusion process Empirical process فرایند فلر فرایند فلمینگ-ویوت Gamma process Hunt process Interacting particle systems Itô diffusion فرایند ایتو Jump diffusion Jump process فرایند لوی Local time Markov additive process McKean–Vlasov process فرایند اورنستین-یولنبک فرایند پواسون Compound فرایند پواسون فرایند پواسون تحول شرام و لونر Semimartingale Sigma-martingale Stable process Superprocess Telegraph process Variance gamma process فرایند وینر Wiener sausage
Both	فرایند شاخه‌ای Galves–Löcherbach model فرایند گاوسی مدل پنهان مارکف زنجیره مارکوف مارتینگیل Differences Local مارتینگیل مارتینگیل Random dynamical system Regenerative process نظریه تجدید Stochastic chains with memory of variable length نویز سفید
Fields and other	فرایند دیریکله Gaussian random field Gibbs measure شبکه هاپفیلد مدل آیزینگ Potts model شبکه بولی میدان تصادفی مارکفی نظریه تراوش فرایند پیتمن-یور فرایند نقطه ای Cox فرایند پواسون میدان تصادفی گراف تصادفی
سری زمانی	واریانس ناهمسانی شرطی اتورگرسیو میانگین متحرک خودهمبسته یکپارچه مدل خودهمبسته مدل خودهمبسته میانگین متحرک واریانس ناهمسانی شرطی اتورگرسیو مدل میانگین متحرک
Financial models	مدل بلک-درمن-توی Black–Karasinski مدل بلک-شولز مدل چن Constant elasticity of variance (CEV) مدل کاکس-اینگرسول-راس Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility مدل واسیچک Wilkie
بیمسنجی	Bühlmann Cramér–Lundberg Risk process Sparre–Anderson
نظریه صفs	Bulk Fluid Generalized queueing network M/G/1 صف M/M/1 M/M/c
Properties	تابع Càdlàg Continuous Continuous paths ارگادیسیتی متغیرهای تصادفی تعویض پذیر Feller-continuous فرآیندهای تصادفی گاوسی-مارکوف خاصیت مارکف Mixing Piecewise deterministic Predictable Progressively measurable Self-similar فرایند مانا Time-reversible
Limit theorems	قضیه حد مرکزی Donsker's theorem Doob's martingale convergence theorems نظریه ارگودیک Fisher–Tippett–Gnedenko theorem Large deviation principle قانون اعداد بزرگ قانون لگاریتم‌های تکراری Maximal ergodic theorem Sanov's theorem
Inequalities	Burkholder–Davis–Gundy Doob's martingale Kunita–Watanabe
Tools	Cameron–Martin formula همگرایی متغیرهای تصادفی Doléans-Dade exponential Doob decomposition theorem Doob–Meyer decomposition theorem Doob's optional stopping theorem Dynkin's formula Feynman–Kac formula Filtration Girsanov theorem Infinitesimal generator Itô integral Itô's lemma Kolmogorov continuity theorem Kolmogorov extension theorem Lévy–Prokhorov metric Malliavin calculus Martingale representation theorem Optional stopping theorem Prokhorov's theorem Quadratic variation Reflection principle Skorokhod integral Skorokhod's representation theorem تابع Càdlàg Snell envelope معادله دیفرانسیل تصادفی Tanaka زمان توقف Stratonovich integral Uniform integrability Usual hypotheses Wiener space Classical Abstract
Disciplines	بیمسنجی اقتصادسنجی نظریه ارگودیک نظریه مقدار حدی قضیه انحرافات بزرگ مالیه ریاضیاتی آمار ریاضی نظریه احتمالات نظریه صف نظریه تجدید Ruin theory آمار حسابان تصادفی سری زمانی یادگیری ماشین
List of topics