تابع توزیع تجمعی برای توزیع نرمال . تابع چگالی احتمال برای چند توزیع نرمال، نمودار قرمز رنگ مربوط به توزیع نرمال استاندارد است .. تابع توزیع تجمعی (به انگلیسی : Cumulative distribution function ) یا تابع توزیع انباشتی تابعی غیر صفر و هم نوای صعودی است که برد آن بازه [۰٫۱] بوده و احتمال آنکه متغیر تصادفی X دارای مقداری کوچکتر از x باشد را نشان میدهد،[۱] یعنی x → F X ( x ) = P ( X ≤ x ) {\displaystyle x\to F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)} [۲]
از این تعریف میتوان نتیجه گرفت که:
P ( a < X ≤ b ) = F X ( b ) − F X ( a ) {\displaystyle P(a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)}
تابع توزیع تجمعی را میتوان به صورت زیر بر اساس تابع چگالی احتمال نیز تعریف کرد
F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t . {\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt.} [۳]
در مورد متغیرهای تصادفی با مقادیر گسسته این تعریف به صورت زیر است:
Pr ( X = x ) = F ( x 0 ) − F ( x 0 − ) , {\displaystyle \Pr(X=x)=F(x_{0})-F(x_{0}-),}
که در اینجا F ( x 0 − ) {\displaystyle F(x_{0}-)} به معنی حد چپ تابع F X ( x ) {\displaystyle F_{X}(x)} است وقتی که x {\displaystyle x} به x 0 {\displaystyle x_{0}} میل میکند[۱]
خواص تابع توزیع تجمعی [ ویرایش ] تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی گسسته به این شکل تعریف میشود:
F X ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∑ t ≤ x P ( t ) {\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)=\sum _{t\leq x}P(t)} تعریف تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی پیوسته به این شکل میشود :
F X ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∫ t ≤ x f ( t ) d t {\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)=\int _{t\leq x}f(t)dt} تمام توابع توزیع تجمعی صعودی (ولی نه لزوماً اکیدا صعودی) و از راست پیوسته هستند. 0 ≤ F X ( x ) ≤ 1 {\displaystyle 0\leq F_{X}(x)\leq 1} lim x → − ∞ F ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0} lim x → + ∞ F ( x ) = 1 {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }F(x)=1} [۱] اگر x 1 ≤ x 2 {\displaystyle x_{1}\leq x_{2}} باشد، آنگاه :
F X ( x 1 ) ≤ F X ( x 2 ) {\displaystyle F_{X}(x_{1})\leq F_{X}(x_{2})} P ( X > x ) = 1 − F X ( x ) {\displaystyle P(X>x)=1-F_{X}(x)} P ( x 1 < x ≤ x 2 ) = F X ( x 2 ) − F X ( x 1 ) {\displaystyle P(x_{1}<x\leq x_{2})=F_{X}(x_{2})-F_{X}(x_{1})} اگر M میانه دادهها باشد داریم :
F X ( M ) = ∫ − ∞ M f ( x ) d x = 1 2 {\displaystyle F_{X}(M)=\int _{-\infty }^{M}f(x)dx={\frac {1}{2}}} و این همان تعریف میانه است که نیمی از دادهها مقداری کمتر از M دارند.[۴]
فرض کنید X یک متغیر تصادفی پیوستهاست که تابع چگالی احتمال آن به این شکل تعریف شده باشد:[۵]
f ( x ) = { 0 x ≤ − 1 x + 1 − 1 < x ≤ 0 1 − x 0 < x < 1 0 x ≥ 1 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x\leq -1\\\\x+1&-1<x\leq 0\\\\1-x&0<x<1\\\\0&x\geq 1\end{cases}}} نمودار چگالی احتمال این متغیر تصادفی به شکل زیر خواهد بود:
با انتگرالگیری از تابع چگالی احتمال در هر بازه تابع توزیع تجمعی آن را به دست میآوریم و خواهیم داشت:
F ( x ) = { 0 x ≤ − 1 1 2 ( x + 1 ) 2 − 1 < x ≤ 0 1 − ( 1 − x ) 2 2 0 < x < 1 1 x ≥ 0 {\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&x\leq -1\\\\{\frac {1}{2}}(x+1)^{2}&-1<x\leq 0\\\\1-{\frac {(1-x)^{2}}{2}}&0<x<1\\\\1&x\geq 0\end{cases}}} تابع توزیع تجمعی برای چند توزیع [ ویرایش ] در این قسمت تابع توزیع تجمعی چند توزیع معروف و نمودار توزیع تجمعی آنها را بررسی میکنیم:
توزیع طبیعی استاندارد [ ویرایش ] تابع چگالی احتمال توزیع طبیعی استاندارد برای ℝ x ∈ {\displaystyle x\in } به شکل زیر تعریف میشود :
f ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{\frac {-x^{2}}{2}}} و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:
F ( x ) = ∫ f ( x ) d x = ∫ 1 2 π e − x 2 2 = 1 2 ( 1 + e r f x − μ σ 2 ) {\displaystyle F(x)=\int f(x)dx=\int {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{\frac {-x^{2}}{2}}={\frac {1}{2}}\left(1+{\mathrm {erf} }\,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\!} توزیع پواسون [ ویرایش ] تابع جرم احتمال توزیع پواسون برای {1,2,3,...} k ∈ {\displaystyle k\in } و λ ∈ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle \lambda \in (0,\infty )} به شکل زیر تعریف میشود:
P ( x ) = e − λ λ k k ! {\displaystyle P(x)={\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!}} و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:
F ( x ) = ∑ P ( x ) = ∑ e − λ λ k k ! = Γ ( k + 1 , λ ) k ! {\displaystyle F(x)=\sum P(x)=\sum {\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!}={\displaystyle {\frac {\Gamma (k+1,\lambda )}{k!}}\!}} توزیع نمایی [ ویرایش ] تابع چگالی احتمال توزیع نمایی برای x ≥ 0 {\displaystyle x\geq 0} به شکل زیر تعریف میشود :
f ( x ) = λ e − λ x {\displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x}} و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:
F ( x ) = ∫ f ( x ) d x = ∫ λ e − λ x = 1 − e − λ x {\displaystyle F(x)=\int f(x)dx=\int \lambda e^{-\lambda x}=1-e^{-\lambda x}} تابع توزیع تجمعی برای توابع توام [ ویرایش ] تابع توزیع تجمعی برایتوزیع احتمال توأم به این صورت تعریف میشود:
F X 1 , X 2 , . . . , X n ( x 1 , x 2 , . . . . , x n ) = P ( X 1 ≤ x 1 , X 2 ≤ x 2 , . . . , X n ≤ x n ) {\displaystyle F_{X_{1},X_{2},...,X_{n}}(x_{1},x_{2},....,x_{n})=P(X_{1}\leq x_{1},X_{2}\leq x_{2},...,X_{n}\leq x_{n})} توزیع توام با این تعریف تابع توزیع تجمعی برای تابع دو متغیره f X Y ( x , y ) {\displaystyle f_{XY}(x,y)} به این شکل خواهد بود:
F X Y ( x , y ) = P ( X ≤ x , Y ≤ y ) {\displaystyle F_{XY}(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)} ویژگیهای این تابع همانند حالت یک متغیره خواهد بود. برخی از این ویژگیها عبارتند از:
0 ≤ F X 1 , X 2 , . . . , X n ( x 1 , x 2 , . . . . , x n ) ≤ 1 {\displaystyle 0\leq F_{X_{1},X_{2},...,X_{n}}(x_{1},x_{2},....,x_{n})\leq 1} lim x 1 , x 2 , . . . , x n → − ∞ F X 1 , X 2 , . . . , X n ( x 1 , x 2 , . . . . , x n ) = 0 {\displaystyle \lim _{x_{1},x_{2},...,x_{n}\to -\infty }F_{X_{1},X_{2},...,X_{n}}(x_{1},x_{2},....,x_{n})=0} lim x 1 , x 2 , . . . , x n → ∞ F X 1 , X 2 , . . . , X n ( x 1 , x 2 , . . . . , x n ) = 1 {\displaystyle \lim _{x_{1},x_{2},...,x_{n}\to \infty }F_{X_{1},X_{2},...,X_{n}}(x_{1},x_{2},....,x_{n})=1} P ( x 1 < x ≤ x 2 , y 1 < y ≤ y 2 ) = F X Y ( x 2 , y 2 ) − F X Y ( x 1 , y 2 ) − F X Y ( x 2 , y 1 ) + F X Y ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle P(x_{1}<x\leq x_{2},y_{1}<y\leq y_{2})=F_{XY}(x_{2},y_{2})-F_{XY}(x_{1},y_{2})-F_{XY}(x_{2},y_{1})+F_{XY}(x_{1},y_{1})} [۶] ↑ ۱٫۰ ۱٫۱ ۱٫۲ http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Cumulative_distribution_function&oldid=437556047 ↑ Probability and Statistics in Engineering And Management Science, William W. Hines, Douglas C. Montgomery, Third Edition, John Wiley and Sons, 1990, ISBN 0-471-60090-3 . ↑ Introduction to Probability Models, Sheldon M. Ross, Tenth Edition ↑ «نسخه آرشیو شده» (PDF) . بایگانیشده از اصلی (PDF) در ۳۱ اکتبر ۲۰۱۷. دریافتشده در ۲۸ دسامبر ۲۰۱۸ . ↑ «نسخه آرشیو شده» . بایگانیشده از اصلی در ۲۸ دسامبر ۲۰۱۸. دریافتشده در ۲۸ دسامبر ۲۰۱۸ . ↑ https://www.probabilitycourse.com/chapter5/5_2_2_joint_cdf.php