اجتماع (نظریه مجموعه‌ها) - ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

در نظریه مجموعه‌ها، اجتماع (به انگلیسی: union) که با نماد ∪ نشان‌داده می‌شود، برای یک گردآورد از مجموعه‌ها برابر مجموعه همه عناصر در آن گردآورد است.^[۱] این عمل یکی از عملیات بنیادین است که از طریق آن می‌توان مجموعه‌ها را ترکیب کرد و با هم مرتبط نمود. یک اجتماع پوچ به اجتماع مجموعه‌های صفر (${\displaystyle 0}$) اشاره دارد و طبق تعریف برابر مجموعه تهی است.

اصل موضوع اجتماع[ویرایش]

اگر S مجموعه‌ای از مجموعه‌ها باشد (یعنی S یک رده باشد)، مجموعه‌ای مانند C یافت می‌شود که همه اعضای S زیرمجموعه آن باشند. یعنی برای هر ${\displaystyle A\in S}$ داشته باشیم ${\displaystyle A\subseteq C}$.

اجتماع همه اعضای S که آن را با ${\displaystyle \bigcup S}$ یا ${\displaystyle \bigcup _{A\in S}A}$ نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

مجموعه بالا طبق اصل تصریح وجود دارد و با استفاده از اصل موضوع گسترش می‌توان نشان داد که یکتاست. برای دو مجموعه دلخواه A و B، ${\displaystyle \bigcup \{A,B\}}$ را با ${\displaystyle A\cup B}$ نشان می‌دهیم و می‌خوانیم "A اجتماع B". اجتماع سه مجموعه B، A و C را با ${\displaystyle A\cup B\cup C}$،... و اجتماع n مجموعه ${\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}}$ را با ${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n}}$ نمایش می‌دهیم. می‌توان نشان داد که

خواص اجتماع[ویرایش]

مهم‌ترین ویژگی ${\displaystyle A\cup B}$ این است که هم A و هم B زیرمجموعه آن هستند. فی‌الواقع ${\displaystyle A\cup B}$ کوچک‌ترین مجموعه‌ایست که این ویژگی را دارد.

اگر اشتراک دو مجموعه A و B را با ${\displaystyle A\cap B}$ نشان دهیم، به ازای هر B، A و C داریم:

جستارهای وابسته[ویرایش]

• اشتراک (مجموعه)

منابع[ویرایش]