Die Lagrange-Dichte L {\displaystyle {\mathcal {L}}} (nach dem Mathematiker Joseph-Louis Lagrange ) spielt in der theoretischen Physik eine Rolle bei der Betrachtung von Feldern . Sie beschreibt die Dichte der Lagrange-Funktion L {\displaystyle L} in einem Volumenelement. Daher ist die Lagrange-Funktion definiert als das Integral der Lagrange-Dichte über dem betrachteten Volumen:
L = ∫ d 3 r L = ∭ d x d y d z L ( ϕ , ∂ ϕ ∂ t , ∂ ϕ ∂ x , ∂ ϕ ∂ y , ∂ ϕ ∂ z , t ) {\displaystyle L=\int \mathrm {d} ^{3}r{\mathcal {L}}=\iiint \mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\,{\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial t}},{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},t\right)} mit dem betrachteten Feld ϕ ( x , y , z , t ) {\displaystyle \phi (x,y,z,t)} .
Der eigentliche Zweck der Lagrange-Dichte ist die Beschreibung von Feldern durch Bewegungsgleichungen . So, wie man die Lagrange-Gleichungen zweiter Art aus dem Hamiltonschen Prinzip erhält, kann man die Lagrange-Gleichungen für Felder aus dem Hamiltonschen Prinzip für Felder erhalten (Herleitung ). Entsprechend lautet die Bewegungsgleichung:
∂ L ∂ ϕ i − ∂ ∂ t ∂ L ∂ ∂ ϕ i ∂ t − ∑ j = 1 3 ∂ ∂ x j ∂ L ∂ ∂ ϕ i ∂ x j = ∂ L ∂ ϕ i − ∂ μ ∂ L ∂ ( ∂ μ ϕ i ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial t}}}}-\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x_{j}}}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}=0} . Beispielhafte Lösung der Bewegungsgleichung einer schwingenden Saite (String) in 3 Dimensionen. Parameter: E = μ = 1 {\displaystyle E=\mu =1} , Animation läuft mit 10 % der tatsächlichen Geschwindigkeit. Für eine in einer Dimension schwingende Saite ergibt sich für die Lagrange-Dichte
L = 1 2 [ μ ( ∂ ϕ ∂ t ) 2 − E ( ∂ ϕ ∂ x ) 2 ] {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left[\mu \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)^{2}-E\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)^{2}\right]} In diesem Beispiel bedeuten:
ϕ = ϕ ( x , t ) {\displaystyle \phi =\phi (x,t)} die Auslenkung eines Punktes der Saite aus der Ruhelage (Feldvariable) μ {\displaystyle \mu } die lineare Massendichte E {\displaystyle E} den Elastizitätsmodul Mit dieser Lagrange-Dichte ergibt sich
∂ L ∂ ϕ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0} ∂ L ∂ ∂ ϕ ∂ t = μ ∂ ϕ ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi }{\partial t}}}}=\mu {\frac {\partial \phi }{\partial t}}} ∂ L ∂ ∂ ϕ ∂ x = − E ∂ ϕ ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi }{\partial x}}}}=-E{\frac {\partial \phi }{\partial x}}} Damit ergibt sich für die Bewegungsgleichung der schwingenden Saite
E ∂ 2 ϕ ∂ x 2 − μ ∂ 2 ϕ ∂ t 2 = 0 {\displaystyle E{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}-\mu {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=0} Anwendung findet die Beschreibung physikalischer Vorgänge über die Lagrange-Dichte statt über die Lagrange-Funktion vor allem in relativistischen Vorgängen. Hier ist eine kovariante Darstellung der Lagrange-Funktion gewünscht, dann ist die Wirkung über
S = ∫ d 4 x − g L {\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{4}x\,{\sqrt {-g}}\,{\mathcal {L}}} definiert, wobei g {\displaystyle g} die Determinante des metrischen Tensors ist.[1] Damit ist die Lagrange-Funktion ein Lorentz-Pseudoskalar, also invariant unter Lorentz-Transformationen :
L ′ ( x μ ) = L ( x μ ′ ) = L ( x μ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}'(x_{\mu })={\mathcal {L}}(x'_{\mu })={\mathcal {L}}(x_{\mu })} mit x μ ′ = Λ μ ν x ν {\displaystyle x'_{\mu }=\Lambda _{\mu \nu }x^{\nu }} , wobei Λ μ ν {\displaystyle \Lambda _{\mu \nu }} der Lorentz-Transformationstensor ist. ↑ Clinton L. Lewis: Explicit gauge covariant Euler–Lagrange equation . In: American Journal of Physics . Band 77 , 2009, S. 839 , doi :10.1119/1.3153503 .