Plots der ersten fünf Hermiteschen Polynome Hn Die Hermiteschen Polynome (nach Charles Hermite ) sind Polynome mit folgenden äquivalenten Darstellungen:
H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n e − x 2 , {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}e^{-x^{2}}\,,} bzw. H n ( x ) = e x 2 / 2 ( x − d d x ) n e − x 2 / 2 . {\displaystyle H_{n}(x)=e^{x^{2}/2}\,\left(x-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{n}\,e^{-x^{2}/2}\,.}
Die Hermiteschen Polynome (mit einem festen n {\displaystyle n} ) sind Lösungen der Hermiteschen Differentialgleichung , einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung:
H n ″ ( x ) − 2 x ⋅ H n ′ ( x ) + 2 n ⋅ H n ( x ) = 0 ( n = 0 , 1 , 2 , … ) . {\displaystyle H_{n}''(x)-2\,x\cdot H_{n}'(x)+2\,n\cdot H_{n}(x)=0\qquad (n=0,1,2,\dots ).} Aus der ersten Darstellung erhält man mit der Formel von Faà di Bruno die explizite Darstellung
H n ( x ) = ( − 1 ) n ∑ k 1 + 2 k 2 = n n ! k 1 ! k 2 ! ( − 1 ) k 1 + k 2 ( 2 x ) k 1 {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}\sum _{k_{1}+2k_{2}=n}{\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!}}(-1)^{k_{1}+k_{2}}(2x)^{k_{1}}} also
H 0 ( x ) = 1 {\displaystyle H_{0}(x)=1} H 1 ( x ) = 2 x {\displaystyle H_{1}(x)=2x} H 2 ( x ) = ( 2 x ) 2 − 2 = 4 x 2 − 2 {\displaystyle H_{2}(x)=(2x)^{2}-2=4x^{2}-2} H 3 ( x ) = ( 2 x ) 3 − 6 ( 2 x ) = 8 x 3 − 12 x {\displaystyle H_{3}(x)=(2x)^{3}-6(2x)=8x^{3}-12x} H 4 ( x ) = ( 2 x ) 4 − 12 ( 2 x ) 2 + 12 = 16 x 4 − 48 x 2 + 12 {\displaystyle H_{4}(x)=(2x)^{4}-12(2x)^{2}+12=16x^{4}-48x^{2}+12} Hermitesche Polynome lassen sich durch folgende Rekursionsformeln berechnen ( n ∈ N 0 , H − 1 ( x ) := 0 ) {\displaystyle (n\in \mathbb {N} _{0},H_{-1}(x):=0)} :
H n + 1 ( x ) = 2 x H n ( x ) − 2 n H n − 1 ( x ) {\displaystyle H_{n+1}(x)=2\,x\,H_{n}(x)-2\,n\,H_{n-1}(x)} H n ′ ( x ) = 2 n H n − 1 ( x ) {\displaystyle H_{n}'(x)=2\,n\,H_{n-1}(x)} Da bei jedem Iterationsschritt ein x {\displaystyle x} hinzumultipliziert wird, sieht man schnell, dass H n ( x ) {\displaystyle H_{n}(x)} ein Polynom von Grade n {\displaystyle n} ist. Der Koeffizient der höchsten Potenz x n {\displaystyle x^{n}} ist 2 n {\displaystyle 2^{n}} . Für gerade n {\displaystyle n} treten ausschließlich gerade Potenzen von x {\displaystyle x} auf, entsprechend für ungerade n {\displaystyle n} nur ungerade Potenzen, was sich mathematisch durch die Identität
H n ( − x ) = ( − 1 ) n ⋅ H n ( x ) {\displaystyle H_{n}(-x)=(-1)^{n}\cdot H_{n}(x)} ausdrücken lässt.
Die rekursive Darstellung der o. g. Hermiteschen Polynome lässt sich durch die einfache Substitution n ′ = n + 1 {\displaystyle n'=n+1} auch wie folgt schreiben:
H n ( x ) = 2 x H n − 1 ( x ) − 2 ( n − 1 ) H n − 2 ( x ) ( n = 1 , 2 … ) {\displaystyle H_{n}(x)=2xH_{n-1}(x)-2(n-1)H_{n-2}(x)\,\,\,\,\,\quad \quad (n=1,2\ldots )} Die Hermiteschen Polynome erfüllen bezüglich der Gewichtsfunktion e − x 2 {\displaystyle e^{-x^{2}}} die Orthogonalitätsrelation
∫ − ∞ + ∞ e − x 2 ⋅ H n ( x ) ⋅ H m ( x ) d x = 2 n ⋅ n ! ⋅ π ⋅ δ n m . {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\cdot H_{n}(x)\cdot H_{m}(x)\,dx=2^{n}\cdot n!\cdot {\sqrt {\pi }}\cdot \delta _{nm}.} Das heißt, dass bestimmte reelle Funktionen nach den Hermiteschen Polynomen in eine Reihe entwickelt werden können.
Eine erzeugende Funktion für die Hermite-Polynome ist
F ( x , t ) = e 2 x t − t 2 = ∑ n = 0 ∞ t n n ! H n ( x ) {\displaystyle F(x,t)=e^{2xt-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}H_{n}(x)} . Plots der ersten fünf hermiteschen Polynome Hen (Statistiker-Konvention) Eine andere Definitionsmöglichkeit der Hermiteschen Polynome (Statistiker-Konvention) ist
H e n ( x ) = 2 − n / 2 H n ( x / 2 ) = ( − 1 ) n e x 2 / 2 d n d x n e − x 2 / 2 . {\displaystyle He_{n}(x)=2^{-n/2}H_{n}(x/{\sqrt {2}})=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}e^{-x^{2}/2}.} Sie sind bezüglich der Gewichtsfunktion e − x 2 / 2 {\displaystyle e^{-x^{2}/2}} orthogonal
∫ − ∞ ∞ e − x 2 / 2 H e n ( x ) H e m ( x ) d x = 2 π n ! δ m n {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}/2}\,He_{n}(x)\,He_{m}(x)\,dx={\sqrt {2\,\pi }}\,n!\,\delta _{mn}} und erfüllen die Differentialgleichung
y ″ − x y ′ + n y = 0. {\displaystyle y''-x\,y'+n\,y=0.} Sie lassen sich rekursiv durch
H e n + 1 ( x ) = x H e n ( x ) − n H e n − 1 ( x ) {\displaystyle He_{n+1}(x)=x\,He_{n}(x)-n\,He_{n-1}(x)} bestimmen.
Für die Hermiteschen Polynome gilt eine Formel, die eine ähnliche Gestalt hat wie der binomische Lehrsatz . Für a 2 + b 2 = 1 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=1} ist
H n ( a x + b y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) a k b n − k H k ( x ) H n − k ( y ) . {\displaystyle H_{n}(ax+by)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}H_{k}(x)H_{n-k}(y).} Die Ableitung der komplementären Fehlerfunktion 1 − erf ( x ) = erfc ( x ) {\displaystyle 1-\operatorname {erf} (x)=\operatorname {erfc} (x)} ist
d d x erfc ( x ) = − 2 π e − x 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {erfc} (x)=-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}}} . Damit kann die Darstellung der Hermiteschen Polynome auch folgendermaßen geschrieben werden:[1]
H n ( x ) = π 2 ( − 1 ) ( n + 1 ) e x 2 d n + 1 d x n + 1 erfc ( x ) {\displaystyle H_{n}(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}(-1)^{(n+1)}e^{x^{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{n+1}}{\mathrm {d} x^{n+1}}}\operatorname {erfc} (x)} , sodass man für n = − 1 {\displaystyle n=-1} findet:
H − 1 ( x ) = π 2 e x 2 erfc ( x ) {\displaystyle H_{-1}(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x)} . Die Funktionen höherer Indizes berechnen sich als:
H n − 1 ( x ) = ( − 1 ) n 2 − n ( − n ) ! d − n d x − n H − 1 ( x ) {\displaystyle H_{n-1}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{-n}(-n)!}}{\frac {\mathrm {d} ^{-n}}{\mathrm {d} x^{-n}}}H_{-1}(x)} oder rekursiv H n − 1 ( x ) = 1 2 n H n ′ ( x ) {\displaystyle H_{n-1}(x)={\frac {1}{2n}}H_{n}'(x)} mit n = ( − 1 , − 2 , − 3 , … ) {\displaystyle n=(-1,-2,-3,\dotsc )} . Die so erhaltenen Funktionen genügen wie die Polynome mit positivem Index der hermiteschen Differentialgleichung.
Sie lauten:
H − 1 ( x ) = 1 2 π e x 2 erfc ( x ) {\displaystyle H_{-1}(x)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}e^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x)} H − 2 ( x ) = 1 2 ( 1 − x π e x 2 erfc ( x ) ) {\displaystyle H_{-2}(x)={\tfrac {1}{2}}(1-x{\sqrt {\pi }}e^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x))} H − 3 ( x ) = 1 8 ( − 2 x + ( 1 + 2 x 2 ) π e x 2 erfc ( x ) ) {\displaystyle H_{-3}(x)={\tfrac {1}{8}}(-2x+(1+2x^{2}){\sqrt {\pi }}e^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x))} … {\displaystyle \ldots } Ihre Bedeutung erhalten die Hermite-Polynome durch ihre vielseitige Anwendbarkeit in der Physik. Zum Beispiel werden sie zur Konstruktion der orthonormierten Lösungsfunktionen des quantenmechanischen harmonischen Oszillators benötigt. Diese entsprechen den Hermiteschen Funktionen , die man durch Multiplikation mit der gaußschen Normalverteilung und geeigneter Normierung erhält.
Eine weitere Anwendung finden sie in der Finite-Elemente-Methode als Formfunktionen.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte der nicht-zentralen Studentschen t-Verteilung lässt sich ausdrücken mittels Hermitescher Polynomfunktionen, deren Index negative Werte hat.
↑ Eric W. Weisstein : Hermite Polynomial . In: MathWorld (englisch).