微分幾何中，黎曼幾何（英語：Riemannian geometry）研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空間上二次形式的選擇。它特別關注于角度、弧線長度及體積。把每个微小部分加起來而得出整體的數量。 19世紀，波恩哈德·黎曼把這個概念加以推广。 任意平滑流形容許黎曼...

伪黎曼流形，也称为半黎曼流形（英語：Pseudo-Riemannian manifold），在微分几何中是指一光滑流形，其上有一光滑、对称、点点非退化的 ( 0 , 2 ) {\displaystyle (0,2)} 張量。此張量稱為伪黎曼度量或伪度量張量。 伪黎曼流形与黎曼...

制於切空間內。實際上，根据纳什嵌入定理，所有黎曼流形都可以這樣产生。 我們可以定義黎曼流形為和Rn的平滑子流形是等距同构的度量空間，等距是指其内蕴度量（intrinsic metric）和上述从Rn导出的度量是相同的。这對建立黎曼幾何是很有用的。 黎曼流形可以定义为平滑流形，其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可產生度量空間：...

微分幾何研究微分流形的幾何性質，是現代數學中的一主流研究方向，也是廣義相對論的基礎，與拓撲學、代數幾何及理論物理關係密切。 古典微分几何起源于微积分，主要内容为曲线论和曲面论。歐拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。近代微分几何的创始人是黎曼，他在1854年创立了黎曼几何（实际上黎曼...

1866年，漢諾威王國和普魯士王國的軍隊在哥廷根發生衝突，黎曼逃離了那裡。他在第三次去意大利王國的途中因肺結核在塞拉斯卡（Selasca）去世，他被埋葬在此地的公墓。 他的名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映射定理，黎曼-希尔伯特问题，柯西-黎曼方程，黎曼曲面中。 黎曼积分 黎曼猜想 黎曼張量 《对可用高斯级数表示的函数的理论的补充》...

几何空间的一种微分解析几何学。 一般来讲，非欧几何有广义、狭义、通常意义三个不同含义： 广义的非欧几何：泛指一切和欧几里得几何不同的几何学。 狭义的非欧几何：只是指罗氏几何或黎曼几何。 通常意义的非欧几何：指罗氏几何和黎曼几何二者。 曹亮吉. 歐幾里得無瑕獲釋？...

量。研究辛流形全局性质的“辛拓扑”常与“辛几何”交替使用。 辛几何定义在光滑偶数维微分流形上，其上定义了几何对象，即辛2形式，可以测量空间中2维物体的大小。辛形式之于辛几何中类似于度量张量之于黎曼几何，度量张量测量长度与角度，而辛形式测量有向面积。 辛几何来自经典力学，辛结构的一个例子是物体在1维...

在微分几何中，黎曼曲率张量或黎曼張量是表达黎曼流形的曲率的标准方式，更普遍的，它可以表示有仿射联络的流形的曲率 ,包括无扭率或有撓率的。曲率张量通过列维-奇维塔联络(更一般的，一个仿射联络) ∇ {\displaystyle \nabla } (或者叫协变导数)由下式给出: R ( u , v ) w...

几何结构均为完备的黎曼度量，这些几何结构在某种意义上是比较“好”的，例如体积有限、“直线”都可无限延伸等等。该猜想由威廉·瑟斯顿提出。 标准球面S，具有常曲率+l 欧氏空间R，具有常曲率0 双曲空间H，具有常曲率-1 S×S H×S 特殊线性群(2，R)上左不变黎曼度量 幂零几何 可解几何 如果是带边流形还要加上平环...

有常曲率的标准曲面是有正曲率的椭圆几何（或者球面几何），有0曲率的欧氏几何，和有负曲率的双曲几何（伪球面几何）。因为黎曼曲面可以变为常曲率，因此对于负曲率存在大量其他的例子。 对于高维流形，常曲率通常意味着常截面曲率。和曲面情形相同，存在三类几何（椭圆，平直，或者双曲），其曲率分别为正，0，或者负。 参看： 黎曼流形曲率...

算术几何原指从法尔廷斯（Faltings,G.）、奎伦（Quillen,D.G.）等的算术曲面上黎曼-罗赫定理开始的一系列研究工作，现在一般指所有以数论为背景或目的的代数几何。在算术几何中许多学科起着重要作用，并且相互交叉和渗透，包括数论、模形式、表示论、代数几何、代数数论、李群、多复变函数论、黎曼...