若某一多項式，特定根的重複度為n，其導數該特定根的重複度為n - 1。多項式的判別式為0若且唯若多項式有重根。 多項式函數y = f(x)的圖形在其根的位置會和x軸相交。若該根為重根，函數會在根的位置和x軸相切，若一般根就不會相切。若該根的重複數為奇數（包括1），函數會通過x軸，若該根的重複數為偶數，函數會接觸到x軸，但不會通過x軸。...

多项式简称为多项式。可以证明，两个多項式的和、差与積仍然是多項式，即多項式組成一個環 R [ X ] {\displaystyle R[X]} ，稱爲 R {\displaystyle R} 上的（一元）多項式環。而所有的二元多项式则可以定义为所有以一元多项式为系数的多项式，即形同 p...

數學中的對稱多項式（英語：Symmetric polynomial）是一种特殊的多元多项式。假设一个n元多項式P(X1, X2, ..., Xn)，當其中的n個不定元任意交換後，多項式仍維持不變，就称其为对称多项式。严格的说法是，如果对任意的n元置换σ，都有P(Xσ(1), Xσ(2), ...,...

f=(X-\alpha )g} . 其中g是一个次数比f少1的多项式。如果α也是g的根，那么α就被称作是多项式f的重根。有重根的多项式，相异根的个数必然严格小于它的次数。这样的多项式称为不可分多项式。反之称为可分多项式。 在f的分裂域中，可以更清楚的看到重根。给定f的分裂域F/K後，由于f在F中可以完全分解为一次因式的乘积：...

赫爾維茨多項式（Hurwitz polynomial）得名自德國數學家阿道夫·赫維茲，是一種特殊的多項式，其係數為正值，而且其根解都在複數平面的左半邊或是在虛軸上，也就是根的實部均為負數或是零。有時此一用語會將多項式根的實部限制為只允許負值，也就是解不能在虛軸上（赫爾維茨穩定多項式）。 若以下二個條件皆成立，複變數s...

线性代数中，一个n × n矩阵A在域F上的最小多项式P，是一個有最小的次數且首一的多項式，使得P(A) = 0 。同時只要Q(A) = 0，那麼Q是P的倍数。 以下三个敘述等價： λ 是 μA的根 λ 是A的特徵多項式的根 λ 是A的特徵值 因為μA是m次多項式，所以λ在μA上的重根數是不超過m 。這導致ker((A...

在抽象代數中，多項式環推廣了初等數學中的多項式。一個環 R {\displaystyle R} 上的多項式環是由係數在 R {\displaystyle R} 中的多項式構成的環，其中的代數運算由多項式的乘法與加法定義。在範疇論的語言中，當 R {\displaystyle R} 為交換環時，多項式環可以被刻劃為交換...

在一個代數擴張L/K中，L中的每個元素α都是某個以K中元素为系数的多項式（以下简称K-多项式，所有K-多项式的集合记作K[X]）f的根。所有以α为根的K-多項式中次數最低者稱作α的极小多項式（通常要求其为首一多项式，即最高次项係數等於一，以保證唯一性）。极小多項式總是不可约多項式。 若K-多项式f不可約，則商環L := K[X]/(...

{\displaystyle a_{n}} 是多项式的最高次项系数， r 1 , . . . , r n {\displaystyle r_{1},...,r_{n}} 是多项式在某个分裂域中的根（如有重根的按重数重复排列）。 判别式的概念也被推广到了多项式以外的其它代数结构，比如说圆锥曲线、二次型和...

多项式除法是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。 计算x3−12x2−42x−3{\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}} 把被除式、除式按某个字母作降幂排列，缺项补零，写成以下形式：...

P 無重根）。 利用二項式定理，可證恆等式 ( x + y ) p = x p + y p {\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}} 在特徵為 p 的域上成立（中一新生之夢）。此恆等式說明 P 任兩根之和或積仍為 P 的根。同時， P 的根的乘法逆元仍是根，因此 P...