对称性；如在空間對稱群的哪些變換下，面积或角度會保持不變，就是在研究立体几何的对称性。 抽象群的現代概念是從多個數學領域發展出來的。群論的最初動機是為了求解高於4次的多項式方程。十九世紀法國數學家埃瓦里斯特·伽罗瓦，擴展了保罗·鲁菲尼和约瑟夫·拉格朗日先前的工作，依據特定多項式方程的根（解）的對稱...

E(3)}的子群。 立體的對稱群必由等距同構組成，反之，要分析等距對稱構成的群，就是分析所有可能的對稱。有界三維立體的全體等距同構，必存在共同的不動點，不妨設其中之一為原點。 立體的對稱群，有時稱為全體對稱群作強調，用以突顯與旋轉群（或真對稱群）的分別。立體的旋轉群是其全體對稱群與三維空間本身的旋轉群SO(3){\displaystyle...

有限群和對稱有直接地關接，當其被限制在有限個轉變時。 其證明為，連續對稱，如李群中的，也會導致有限群，如外爾群。在此一方面，有限群和其性質將能夠用在如理論物理問題的重要地方，即使其用途在一開始並不顯著。 每一質數階的有限群都是循環群。 對每一群的類型（至同構），給定有一n個元素的集合，其可能有的群的個數為n...

j)} 元素即是 g i ⋅ g j {\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}} 。群是阿貝爾群若且唯若這個表是關於主對角線是對稱的（或說這個矩陣是對稱矩陣）。這是因為對於阿貝爾群， g i ⋅ g j = g j ⋅ g i {\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot...

n) 的单位群称为在环 R 上 n × n 矩阵的一般线性群，记作 GLn(R) 或 GL(n,R)。所有矩阵群是某个一般线性群的子群。 某些已被证明有研究价值或性质较好的矩阵群是所谓的典型群。当矩阵群的系数环是实数，这些群是典型李群。当底环是一个有限域，典型群是李型群。这些群在有限单群分类中起着重要的作用。...

下面的數學列表包含著以群同構來分之小階有限群。 這個列表可以被用來決定一個給定的有限群G會同構於哪一種群：首先確定G的階，然後再找下面列表中有相同階的候選群。若知道G為可換與否，某些的候選群便可以立刻被刪掉。為了分別剩下的候選群，可以看給定之群內每個元素的階，並對照候選群內每個元素的階。...

数学上，两个集合的对称差是只属于其中一个集合，而不属于另一个集合的元素组成的集合。 集合论中的这个运算相当于布尔逻辑中的异或运算。 集合 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 的对称差通常表示为 A △ ⁡ B {\displaystyle A\operatorname...

R)是单位分支，即包含单位矩阵的连通分支。 实正交群和特殊正交群有如下的解释： O(n,R)是欧几里得群E(n)的子群，E(n)是Rn的等距群；O(n,R)由其中保持原点不动等距组成。它是以原点为中心的球面 (n = 3)、超球面和所有球面对称的对象的對稱群。 SO(n,R)是E+(n)的子群，E+(n)是“直接”等距，即保持定向的等距；SO(n...

物理系統的每一個對稱性都有相對的守恒定律。諾特定理就是概括這關係的重要定理。它指出物理系統包含的每一個對稱性都代表此系统有某相對的物理量守恒。反過來說：物理系統有某守恒性質就代表它帶其相對的對稱性。例如，空間位移對稱造成動量守恒，而時間平移對稱造成能量守恒。 以下列表總結各對稱和相對的守恒量： 手徵對稱性破缺...

几何学中，多面体群指柏拉图立体的对称群。 多面体群共三个： 12阶四面体群，正四面体的旋转对称群。它与A4同构。 T的共轭类是： 恒等 4 × 旋转 120°，3阶，顺时针 4 × 旋转 120°，3阶，逆时针 3 × 旋转 180°，2阶 24阶八面体群，立方体和正八面体的旋转对称群。它与S4同构。...

對稱和一般向量空間對稱的研究，還有多項式的研究。模群可以實現為特殊線性群SL(2, Z)的商群。 如果 n ≥ 2，則群 GL(n, F)不是阿貝爾群。 如果 V 是在域 F 上的向量空間，V 的一般線性群，寫為GL(V)或Aut(V)，是 V 的所有自同構的群，就是說所有雙射線性變換...