代数学におけるモニック多項式（モニックたこうしき、英: monic polynomial; モノ多項式、単多項式）は最高次係数が 1 である一変数多項式。 変数 x に関する次数 n の多項式は、一般的に cnxn+cn−1xn−1+⋯+c2x2+c1x+c0{\displaystyle...

上の有限次元線形空間上の線形変換 T の最小多項式（さいしょうたこうしき、英: minimal polynomial）とは、T が零点（T で零行列）となる F-係数多項式のうち、モニック多項式（最高次係数が 1）で次数が最小のもののことである。特に正方行列 A に対して定義される。 A の最小多項式を p(x) とすると、q(A)...

R 上の多項式 f, g についても、g がモニック多項式（最高次の項の係数が 1）ならば、同様にして f を g で割った商および余りを定めることができる。 多項式の除法は、より一般の、余りつきの除法の特別な場合とみなすことができる。除法の原理、ユークリッド環も参照せよ。 なお、多項式の除法に関する商のほかに、有理式としての商...

に係数を持つ一次式の積に表されるとき、多項式 P は L において分解すると言う。 このとき最高次係数もこれら一次式の最高次係数に因数分解できるから、したがって分解の定義を「L[X] において P が定数と一次のモニック多項式からなる積に表されるとき」と言っても同じことである。このような分解は一意である: これら一次モニック多項式の各定数項は...

(i ∈ I) に関する多項式環 A[(Xi)i∈I] は、I の任意の有限部分集合 J に対する多項式環 A[(Xi)i∈J] を亙る「合併」として定義される。より精確には、I が有限でも無限でも、A[(Xi)i∈I] はモノイド環として定義できる。それはつまり、モニック単項式（つまり有限個の不定元...

についての多項式に xn を代入すると n√α についての多項式が得られるためである。 P (x) をモニックでない整数係数原始多項式で、かつ Q 上既約であるとする。このとき P (x) の根は代数的整数とならない。（ここで原始多項式とは、係数の最大公約数が 1 であるような多項式...

となる。よって A の固有値は 1, 2 である。 固有多項式 pA(t) は、A の重複を込めた全ての固有値を根にもつ最小次数のモニックな（すなわち最高次係数が 1 の）n次多項式である。 つまり A の重複を込めた固有値を λ1, …, λk とし、mi を各固有値の重複度とすると...

上の一変数多項式 X2 + 1 は X2 + 1 = (X + 1)2 より可約多項式である 円分多項式 Φd(X) ∈ Q[X] は既約多項式である 最小多項式は既約多項式である 整域 R の素イデアル P とモニック多項式 f ( X ) = X n + a 1 X n − 1 + ⋯ + a n...

に属している。そのため零多項式は異なる値の α を分類するには役に立たないから、除外される。Jα に零でない多項式が存在すれば、α は F 上代数的な元と呼ばれ、Jα の中に最小次数のモニック多項式が存在する。これが E/F に関しての α の最小多項式である。これは一意的で、F 上既約である。零多項式が Jα の唯一の元であれば、α...

モニック多項式の同伴行列であり、この多項式（線形変換の部分空間への制限の最小多項式）は線形変換の巡回部分空間への作用を同型を除いて決定し、部分空間を生成するベクトル v の選び方に依らない。 巡回部分空間による直和分解は常に存在し、それを見つけるのは多項式...

は係数環の元（スカラー）である。引数の行列は各成分が λ の 1次式以下の多項式（1次式または定数）だから、その行列式も λ の n次モニック多項式になる。ケイリー・ハミルトンの定理の主張は、固有多項式を行列多項式と見れば A が零点であること、すなわち上記の λ を行列 A で置き換えた計算結果が零行列であること、すなわち...