数学において、一変数の非負値関数の積分は、最も単純な場合には、その関数のグラフと x 軸の間の面積と見なすことができる。ルベーグ積分（ルベーグせきぶん、英: Lebesgue integral）は、積分をより多くの関数へ拡張したものである。ルベーグ積分においては、被積分...

これらを含め、現代的な積分の概念は様々に存在する。最も流布している積分論は、ルベーグの創始した、ルベーグ積分と呼ばれる数学的な抽象論であろう。 図形の面積や体積の求積法は、特殊なものに限れば古代からいくつも知られており、その起源は定かではないが、積分...

を拡張できる。このような拡張は一意である。実解析、特にルベーグ積分で用いられる。体積と同様ルベーグ測度は値として ∞ をとりうる。解析学で普通に考えられるような集合に対してはルベーグ測度が与えられるものと考えてよいが、 Rn の部分集合でルベーグ測度を与えることができない（無理に与えると加法性が成り...

ベール、ボレル、ルベーグらの仕事には集合論は欠かせないものであった。ベールは不連続関数を分類し、ルベーグがそれを一般化してオイラーが与えた関数の定義である「解析的」の意味をはじめて明確化した。 更にルベーグはボレルの測度論を一般化しルベーグ測度を導入することによってルベーグ積分...

が成り立つ。 この定理は微分積分学の第二基本定理と呼ばれる。第二定理は、関数を微分して積分すると高々定数の差を除いて元の関数が現われることを主張する。 積分可能性に関して、通常はリーマン積分の意味で積分可能であることを要求するが、ルベーグ積分に対する基本定理も存在する（Rudin (1976...

ルベーグの）有界収束定理と呼ばれる。 リーマン積分に対しては、優収束定理は成立しない。なぜならば、リーマン可積分関数の列の極限は多くの場合、リーマン可積分とはならないからである。優収束定理の持つ威力と有用性は、リーマン積分よりもルベーグ積分...

n-次元のリーマン積分を n に依らず総称して多重リーマン積分または単に重積分と呼ぶ。 また、n-次元ルベーグ測度 dxn に関するルベーグ積分を多重ルベーグ積分若しくは単に重積分と呼ぶこともある。 一変数函数の積分が持つ多くの性質（たとえば線型性、領域の加法性、単調性など）は、重積分に対しても成立する。また、積分...

のリーマン積分が存在するならば、それは IC のルベーグ積分である 1/2 に等しくないといけないから、g はリーマン可積分でない。 リーマン積分の定義によく用いられるのがダルブー積分である。これは、ダルブー積分が技術的に単純で、リーマン可積分性とダルブー可積分性が同値になることによる。 微積分...

数学の測度論的解析学周辺分野におけるルベーグ＝スティルチェス積分（ルベーグスティルチェスせきぶん、英: Lebesgue–Stieltjes integration）は、リーマン＝スティルチェス積分および（狭義の、つまりルベーグ測度に関する）ルベーグ積分の一般化で、前者に対してはより一般の測度論の...

[脚注の使い方] ^ 不定積分あるいは原始関数を求めることを積分するという ^ a b 黒木哲徳『なっとくする数学記号』講談社〈ブルーバックス〉、2021年、79,216頁。ISBN 9784065225509。  積分法（定積分） ルベーグ積分 ルベーグの微分定理 部分積分 置換積分 Wolram Mathematica...

しかし一般にはそう解釈する必然性はない。例えば集合 (0,∞) 上でのルベーグ積分としても解釈できる。とは言うものの、「有限区間上での定積分の極限」という解釈は便利である（便利なのは値の計算だけかもしれないが）。 対照的に、次に示すsinc関数の積分は、 ∫ 0 ∞ sin ⁡ x x d x {\displaystyle...